琉球大学 前期理系 2014年度 問4

問題へ戻る

解答作成者: 北川 拓司

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 琉球大学
学科・方式 前期理系
年度 2014年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} (1)\quad $p_2$は2回のさいころの目について(1回目,2回目)が)(4か5,6),(6,4か5)になる場合の確率で \begin{equation*} p_2=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 2=\dfrac{1}{9} \end{equation*} (2)\quad $n$回の目の出方は全部で$6^{n}$通りある. このうち$n$回目でゲームが終了するのは,1回目から$(n-1)$回目で,4も5も1回も出ず,6が少なくとも1回出て,$n$回目に(4か5)が出るか1回目から$(n-1)$回目で,6が1回も出ず,(4か5)が少なくとも1回出て,$n$回目に6が出るときである.このような目の出方の数が$a_{n}$通りあるとすると \begin{equation*} a_{n}=(4^{n-1}-3^{n-1})\cdot 2+(5^{n-1}-3^{n-1})\cdot 1 \end{equation*} \begin{equation} =2\cdot 4^{n-1}-3^{n}+5^{n-1} \end{equation} である. \begin{equation} p_n=\dfrac{a_n}{6^{n}}=\dfrac{2\cdot 4^{n-1}-3^{n}+5^{n-1}}{6^{n}} \end{equation} (3)\quad $a_1=0$として\textcircled1,\textcircled2は$n=1$のときにも成り立つ.証明すべき不等式$p_{n+1}-p_{n}<\dfrac{2}{3}(p_{n}-p_{n-1})$に$6^{n+1}$を掛けて,場合の数の不等式へと,同値変形をする. \begin{equation*} 6^{n+1}p_{n+1}-6\cdot 6^{n}p_{n}<4(6^{n}p_{n}-6\cdot 6^{n-1}p_{n-1}) \end{equation*} \begin{equation*} a_{n+1}-6a_{n}<4a_{n}-24a_{n-1} \end{equation*} \begin{equation} a_{n+1}-10a_{n}+24a_{n-1}<0 \end{equation} となる.\textcircled3を証明すればよい.\\ \begin{equation*} a_{n-1}=2\cdot 4^{n-2}-3^{n-1}+5^{n-2} \end{equation*} だから \begin{equation*} a_{n+1}-10a_{n}+24a_{n-1} \end{equation*} \begin{equation*} 32\cdot 4^{n-2}-9\cdot 3^{n-1}+25\cdot 5^{n-2} \end{equation*} \begin{equation*} -10(8\cdot 4^{n-2}-3\cdot 3^{n-1}+5\cdot 5^{n-2}) \end{equation*} \begin{equation*} =-3\cdot 3^{n-1}-5^{n-2}<0 \end{equation*} \end{document}