琉球大学 前期理系 2014年度 問1

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解答作成者: 北川 拓司

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入試情報

大学名 琉球大学
学科・方式 前期理系
年度 2014年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} \begin{equation*} [1]\quad \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}x\cos 2x\;dx=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\pi}{2}(\sin 2x)^{\prime}\;dx \end{equation*} \begin{equation*} [\dfrac{x}{2}\sin 2x]_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}(x)^{\prime}\sin 2x\;dx \end{equation*} \begin{equation*} \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{2}[\dfrac{1}{2}\cos 2x]_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4} \end{equation*} \vspace*{2mm} [2]\quad (1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると\\ $\mathrm{AM}=\sqrt{1-x^{2}}$である.内接円の半径を求めるときの公式より \begin{equation*} \dfrac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC})r=\triangle\mathrm{ABC} \end{equation*} \begin{equation*} \dfrac{1}{2}(1+1+2x)r=\dfrac{1}{2}\cdot 2x \cdot \sqrt{1-x^{2}} \end{equation*} \begin{equation*} r(x+1)=x\sqrt{1-x^{2}} \end{equation*} \begin{equation*} r=\dfrac{x\sqrt{1-x^{2}}}{x+1} \end{equation*} (2)$r=\sqrt{\dfrac{x^{2}(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}}=\sqrt{\dfrac{x^{2}(1-x)}{1+x}}$ \begin{equation*} f(x)=\dfrac{x^{2}-x^{3}}{1+x} \end{equation*} とおく.$0<x<1$である. \begin{equation*} f^{\prime}(x)=\dfrac{(2x-3x^{2})(1+x)-(x^{2}-x^{3})\cdot 1}{(1+x)^{2}} \end{equation*} \begin{equation*} =\dfrac{-2x^{3}-2x^{2}+2x}{(1+x)^{2}}=\dfrac{-2x(x^{2}+x-1)}{(1+x)^{2}} \end{equation*} $x^{2}+x-1=0,x>0$を解くと$x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$である.増減表は次のようになり$r$は$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$で最大になる.\\ \end{document}