神戸大学 前期理系 2014年度 問5

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解答作成者: 高木 勝久

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期理系
年度 2014年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部 ・ 海事科学部
カテゴリ 数と式 ・ 図形と方程式 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt,fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \topmargin=0truemm \headheight=0truemm \mathindent=2zw \parindent=0pt \renewcommand{\labelenumi}{\Large\bf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4} \item $a$,$b$を正の実数とし,$xy$平面上に3点O$(0, 0)$,A$(a, 0)$,B$(a, b)$をとる. 三角形OABを,原点Oを中心に$90^\circ$回転するとき,三角形OABが通過してできる図形を$D$とする.このとき,以下の問に答えよ.(配点30点) \begin{enumerate} \item $D$を$xy$平面上に図示せよ. \item $D$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ. \item $a+b=1$のとき,(2)で求めた$V$の最小値と,そのときの$a$の値を求めよ. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4} \item \begin{enumerate} \item 下図の斜線部分.(境界線を含む) \begin{figure}[h] \input{fig-2014-kobe-rikei-zenki-kaitou-5.tex} \end{figure} \item 前ページの図から \begin{gather*} V=\pi\int_{-b}^ay^2dx-\frac{1}{3}\pi a^2b \\ \phantom{V}=\pi\int_{-b}^a\left(a^2+b^2-x^2\right)dx-\frac{1}{3}\pi a^2b \\ \phantom{V}=\pi\left[ \left(a^2+b^2\right)x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-b}^a -\frac{1}{3}\pi a^2b \\ \phantom{V}=\pi\left(a^2+b^2\right)\left\{a-\left(-b\right)\right\} -\frac{1}{3}\pi\left\{a^3-\left(-b\right)^3\right\}-\frac{1}{3}\pi a^2b \\ \phantom{V}=\frac{1}{3}\pi\left\{3\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)-\left(a^3+b^3\right) -a^2b\right\} \\ \phantom{V}=\frac{1}{3}\pi\left(2a^3+2a^2b+3ab^2+2b^3\right) \end{gather*} \item (2)に$b=1-a$を代入すると, \begin{gather*} V=\frac{1}{3}\pi\left\{2a^3+2a^2\left(1-a\right)+3a\left(1-a\right)^2 +2\left(1-a\right)^3\right\} \\ \phantom{V}=\frac{1}{3}\pi\left(a^3+2a^2-3a+2\right) \\ \therefore V'=\frac{1}{3}\pi\left(3a^2+4a-3\right) \qquad \left(V'=0のとき,a=\dfrac{-2\pm\sqrt{13}}{3}\right) \end{gather*} また,$a>0$,$b=1-a>0$から$0<a<1$である.\\ $3<\sqrt{13}<4$より$\dfrac{-2-\sqrt{13}}{3}<0<\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}<1$であることに 注意して,$0<a<1$における$V$の増減を調べると, \begin{center} \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c} $a$ & $0$ & $\cdots$ & $\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}$ & $\cdots$ & $1$ \\ \hline $V'$ & $\times$ & $-$ & $0$ & $+$ & $\times$ \\ \hline $V$ & $\times$ & $\searrow$ & (極小) & $\nearrow$ & $\times$ \end{tabular} \end{center} となる.したがって,$V$は$a=\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}$のときに最小となる.ここで, \[ a^3+2a^2-3a+2=\left(3a^2+4a-3\right)\cdot\frac{1}{9}\left(3a+2\right) +\frac{2}{9}\left(-13a+12\right) \] だから,$V$の最小値すなわち$a=\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}$のときの$V$の値は, \begin{gather*} \frac{\pi}{3}\left\{0+\frac{2}{9}\left(-13\times\frac{-2+\sqrt{13}}{3}+12\right)\right\} =\frac{\pi}{3}\cdot\frac{2}{27}\left\{-13\left(-2+\sqrt{13}\right)+36\right\} \\ \phantom{\frac{\pi}{3}\left\{0+\frac{2}{9}\left(-13\times\frac{-2+\sqrt{13}}{3}+12\right)\right\}} =\frac{2\pi}{81}\left(62-13\sqrt{13}\right) \\ \phantom{\frac{\pi}{3}\left\{0+\frac{2}{9}\left(-13\times\frac{-2+\sqrt{13}}{3}+12\right)\right\}} =\frac{124-26\sqrt{13}}{81}\pi \end{gather*} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}