神戸大学 前期理系 2014年度 問2

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解答作成者: 高木 勝久

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期理系
年度 2014年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部 ・ 海事科学部
カテゴリ 数と式 ・ 図形と計量 ・ 平面幾何 ・ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt,fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \topmargin=0truemm \headheight=0truemm \mathindent=2zw \parindent=0pt \renewcommand{\labelenumi}{\Large\bf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item $m$,$n$($m<n$)を自然数とし, \[ a=n^2-m^2,b=2mn,c=n^2+m^2 \] とおく.三辺の長さが$a$,$b$,$c$である三角形の内接円の半径を$r$とし,その三角形の面積を$S$とする.このとき,以下の問に答えよ.\\ (配点30点) \begin{enumerate} \item $a^2+b^2=c^2$を示せ. \item $r$を$m$,$n$を用いて表せ. \item $r$が素数のときに,$S$を$r$を用いて表せ. \item $r$が素数のときに,$S$が6で割り切れることを示せ. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \begin{enumerate} \item \begin{gather*} a^2+b^2=\left(n^2-m^2\right)^2+\left(2mn\right)^2 \\ \phantom{a^2+b^2}=\left(n^4-2n^2m^2+m^4\right)+4m^2n^2 \\ \phantom{a^2+b^2}=n^4+2n^2m^2+m^4 \\ \phantom{a^2+b^2}=\left(n^2+m^2\right)^2 \\ \phantom{a^2+b^2}=c^2 \end{gather*} \item (1)から,この三角形は長さが$c$の辺を斜辺とする直角三角形だから,$\displaystyle S=\frac{1}{2}ab$である.一方,$\displaystyle S=\frac{r}{2}\left(a+b+c\right)$も成り立つので, \begin{gather*} \frac{1}{2}ab=\frac{r}{2}\left(a+b+c\right) \\ \therefore r=\frac{ab}{a+b+c} \\ \phantom{\therefore r}=\frac{\left(n^2-m^2\right)\cdot2mn} {\left(n^2-m^2\right)+2mn+\left(n^2-m^2\right)} \\ \phantom{\therefore r}=\frac{2mn\left(n+m\right)\left(n-m\right)}{2n^2+2mn} \\ \phantom{\therefore r}=\frac{2mn\left(n+m\right)\left(n-m\right)}{2n\left(n+m\right)} \\ \phantom{\therefore r}=m\left(n-m\right) \end{gather*} \item $r=m\left(n-m\right)$が素数のとき,題意より$m$,$n-m$がともに自然数であることから,$m=1$または$n-m=1$である.\\ $m=1$のとき,(2)より$r=n-1$すなわち$n=r+1$であり,題意より$a=n^2-1$,$b=2n$だから, \begin{gather*} S=\frac{1}{2}ab \\ \phantom{S}=\frac{1}{2}\left(n^2-1\right)\cdot2n \\ \phantom{S}=n\left(n+1\right)\left(n-1\right) \\ \phantom{S}=r\left(r+1\right)\left(r+2\right) \end{gather*} $n-m=1\Leftrightarrow m=n-1$のとき,(2)より$r=m=n-1$すなわち$n=r+1$であり,題意より$a=n^2-\left(n-1\right)^2=2n-1$,$b=2n\left(n-1\right)$だから, \begin{gather*} S=\frac{1}{2}ab \\ \phantom{S}=\frac{1}{2}\left(n^2-1\right)\cdot2n \\ \phantom{S}=n\left(2n-1\right)\left(n-1\right) \\ \phantom{S}=r\left(r+1\right)\left(2r+1\right) \end{gather*} \item 連続する3整数の積は6で割り切れる.よって,$r$が素数のとき,(3)で得られた$S$である \begin{gather*} r\left(r+1\right)\left(r+2\right), \\ r\left(r+1\right)\left(2r+1\right)=r\left(r+1\right) \left\{\left(r-1\right)+\left(r+2\right)\right\} \\ \phantom{r\left(r+1\right)\left(2r+1\right)} =\left(r-1\right)r\left(r+1\right)+r\left(r+1\right)\left(r+2\right) \end{gather*} は,いずれも6で割り切れる. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}