神戸大学 前期文系 2014年度 問1

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解答作成者: 高木 勝久

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期文系
年度 2014年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 国際文化学部 ・ 発達科学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 経営学部
カテゴリ 数と式 ・ 複素数と方程式 ・ 微分法と積分法 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt,fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \topmargin=0truemm \headheight=0truemm \mathindent=2zw \parindent=0pt \renewcommand{\labelenumi}{\Large\bf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \item 2次方程式$x^2-x-1=0$の2つの解を$\alpha$,$\beta$とし, \[ c_n=\alpha^n+\beta^n,\quad n=1,2,3,\cdots \] とおく.以下の問に答えよ.(配点25点) \begin{enumerate} \item $n$を2以上の自然数とするとき, \[ c_{n+1}=c_n+c_{n-1} \] となることを示せ. \item 曲線$y=c_1x^3-c_3x^2-c_2x+c_4$の極値を求めよ. \item 曲線$y=c_1x^2-c_3x+c_2$と,$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\alpha$は方程式$x^2-x-1=0$の解だから, \begin{gather*} \alpha^2-\alpha-1=0 \\ \therefore \alpha^2=\alpha+1 \end{gather*} が成り立つ.両辺に$\alpha^{n-1}$をかけると, \begin{equation} \alpha^{n+1}=\alpha^n+\alpha^{n-1} \label{eqn:alpha} \end{equation} $\beta$も方程式$x^2-x-1=0$の解だから,同様にして \begin{equation} \beta^{n+1}=\beta^n+\beta^{n-1} \label{eqn:beta} \end{equation} \ref{eqn:alpha}と\ref{eqn:beta}の両辺をそれぞれ加えると, \begin{gather*} \alpha^{n+1}+\beta^{n+1} =\left(\alpha^n+\beta^n\right)+\left(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}\right) \\ \therefore c_{n+1}=c_n+c_{n-1} \end{gather*} \item 解と係数の関係から,$\alpha+\beta=1$,$\alpha\beta=-1$である。これと(1)から, \begin{gather*} c_1=\alpha+\beta=1, \\ c_2=\alpha^2+\beta^2=\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta =1^2-2\cdot\left(-1\right)=3, \\ c_3=c_2+c_1=3+1=4, \\ c_4=c_3+c_2=4+3=7 \end{gather*} よって,曲線の方程式は, \[ y=c_1x^3-c_3x^2-c_2x+c_4=x^3-4x^2-3x+7 \] である。これを$f(x)$とおく。\\ $f'(x)=3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)$だから,$f(x)$の増減は, \begin{center} \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c} $x$ & $\cdots$ & $\displaystyle -\frac{1}{3}$ & $\cdots$ & 3 & $\cdots$ \\ \hline $f'(x)$ & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ \\ \hline $f(x)$ & $\nearrow$ & (極大) & $\searrow$ & (極小) & $\nearrow$ \end{tabular} \end{center} となるから,求める極値は, \begin{align*} 極大値 f\left(-\frac{1}{3}\right) &=\left(-\frac{1}{3}\right)^3-4\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2 -3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)+7 \\ &=\frac{1}{3^3}\left(-1-4\cdot3+3\cdot3^2+7\cdot3^3\right) =\frac{-1-12+27+7\cdot27}{27} \\ &=\frac{203}{27} \end{align*} と, \begin{align*} 極小値 f(3)&=3^3-4\cdot3^2-3\cdot3+7 \\ &=27-36-9+7=-11 \end{align*} \newpage \item (2)より,曲線の方程式は, \begin{align*} y=c_1x^2-c_3x+c_2=&x^2-4x+3 \\ & \left(\,=(x-1)(x-3)\,\right) \end{align*} であり,これと$x$軸で囲まれた部分は下図の斜線部分である. \begin{figure}[h] \begin{center} \input{fig-2014kobe-zenki-bunkei-kaitou-1.tex} \end{center}% \end{figure}% \\ よって求める面積は, \[ \int_1^3{-(x-1)(x-3)}\,dx=-\frac{-1}{6}\left(3-1\right)^3=\frac{4}{3} \] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}