立命館大学 理系A 2005年度 問4

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 立命館大学
学科・方式 理系A
年度 2005年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \usepackage{custom_suseum} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} \begin{FRAME}  等式 \[ (a+b)^N=\displaystyle\sum^{N}_{k=0} {}_N\mathrm{C}_k a^k b^{N-k} \: , \:\:\:\:\: {}_N\mathrm{C}_k=\cfrac{N!}{k!(N-k)!} \] \bigskip を二項定理という。これを利用して以下の設問に答えよ。 \bigskip  表の出やすい銅貨を $N$ 回投げる。そのうち,表が偶数回 (0回を含む) 出る確率を $P_e$ \bigskip とし,表が奇数回出る確率を $P_o$ として,$P_e$ と $P_o$ の大小関係を調べたい。 \bigskip  まず,奇数の $N=2m+1$ について調べてみる。1回投げて表が出る確率を $p$ とすれば, \bigskip $N$ 回のうちで表が $k$ 回出る確率は ${}_N\mathrm{C}_k \: \fbox{ ネ }$ であるから, \[ P_e=\displaystyle\sum^{m}_{k=0} \: \fbox{ ノ } \: , \:\:\: P_o=\displaystyle\sum^{m}_{k=0} \: \fbox{ ハ } \] \bigskip となる。ここで二項定理を応用すれば $P_e-P_0= \fbox{ ヒ }$ となるが,題意より $p>\cfrac{1}{2}$ であ \bigskip るから $P_e$ と $P_o$ の大小関係は $P_e \: \fbox{ フ } \: P_o$ となる。 \bigskip  一方,$N$ が偶数のとき,上の結果 $P_e-P_0= \fbox{ ヒ }$ はそのまま成立するので $P_e$ と $P_o$ \bigskip の大小関係は $P_e \: \fbox{ ヘ } \: P_o$ である。 \end{FRAME} \bigskip  1回あたりの表が出る確率は $p$ より裏が出る確率は $1-p$ で,$N$ 回中表が $k$ 回出る場合 \bigskip の数は ${}_N\mathrm{C}_k$ 通り。よって,$N$ 回のうちで表が $k$ 回出る確率は ${}_N\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{N-k} \cdots \cdots \cdots \fbox{ ネ }$ \bigskip  これより $N=2m+1$ のとき \[ P_e={}_{2m+1}\mathrm{C}_0 p^0(1-p)^{2m+1} +{}_{2m+1}\mathrm{C}_2 p^2(1-p)^{2m-1} +\cdots +{}_{2m+1}\mathrm{C}_{2m} p^{2m}(1-p)^1 \] \[ =\displaystyle\sum^{m}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{2k} p^{2k}(1-p)^{2m+1-2k} \cdots \cdots \cdots \fbox{ ノ } \] \[ P_o={}_{2m+1}\mathrm{C}_1 p^1(1-p)^{2m} +{}_{2m+1}\mathrm{C}_3 p^3(1-p)^{2m-2} +\cdots +{}_{2m+1}\mathrm{C}_{2m+1} p^{2m+1}(1-p)^0 \] \[ =\displaystyle\sum^{m}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{2k+1} p^{2k+1}(1-p)^{2m-2k} \cdots \cdots \cdots \fbox{ ハ } \] \bigskip  よって \[ P_e-P_o=\displaystyle\sum^{m}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{2k} p^{2k}(1-p)^{2m+1-2k} -\displaystyle\sum^{m}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{2k+1} p^{2k+1}(1-p)^{2m-2k} \] \[       =\displaystyle\sum^{m}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{2k} (-p)^{2k}(1-p)^{2m+1-2k} +\displaystyle\sum^{m}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{2k+1} (-p)^{2k+1}(1-p)^{2m-2k} \] \[      =\displaystyle\sum^{2m+1}_{k=0} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{k} (-p)^{k}(1-p)^{2m+1-k} =(-p+1-p)^{2m+1}=(1-2p)^{2m+1} \] \bigskip         $=(1-2p)^N \cdots \cdots \cdots \fbox{ ヒ }$ \bigskip  $p>\cfrac{\: 1 \:}{2}$ より $1-2p<0$。$N$ が奇数より $P_e-P_o<0$,すなわち $P_e<P_o \cdots \cdots \cdots \fbox{ フ }$ \bigskip  $N$ が偶数のときは $P_e-P_o>0$,すなわち $P_e>P_o \cdots \cdots \cdots \fbox{ ヘ } $ \end{document}