立命館大学 理系A 2005年度 問2

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 立命館大学
学科・方式 理系A
年度 2005年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \usepackage{custom_suseum} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} \begin{FRAME} $f(x)$,$g(x)$ は $-\infty <x<\infty $ で定義された実数値関数で,$f(0)^2+g(0)^2>0$ とする。また, \bigskip 任意の実数 $x$,$y$ に対して,次の等式 $\textcircled{\footnotesize1}$ , $\textcircled{\footnotesize2}$ を満たしているものとする。 \[ f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1} \] \[ g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize2} \] \bigskip (1) $f(0)$ と $g(0)$ を求め,その計算過程も含めて $\fbox{ コ }$ に記入せよ。 \bigskip (2) 等式 $\textcircled{\footnotesize1}$,$\textcircled{\footnotesize2}$ より,$y\ne 0$ に対して \[ \cfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\fbox{ サ } \: f(x)- \: \fbox{ シ } \: g(x) \] \[ \cfrac{g(x+y)-g(x)}{y}=\fbox{ シ } \: f(x)+ \: \fbox{ サ } \: g(x) \] \bigskip  である。ただし,$\fbox{ サ }$ ,$\fbox{ シ }$ は $y$ の関数である。したがって,もし,$f(x)$,$g(x)$ が \bigskip  $x=0$で微分可能で $f'(0)=2$,$g'(0)=1$ であるならば,$f(x)$,$g(x)$ はすべての $x$ で \bigskip  微分可能で, \[ f'(x)=\fbox{ ス } \] \[ g'(x)=\fbox{ セ } \] \bigskip  という関係式が成り立つ。このとき,$F(x)=\log \{f(x)^2+g(x)^2\} $ とおくと,その導関 \bigskip  数は定数で $F'(x)=\fbox{ ソ }$ となる。このことと(1)の結果より $F(x)=\fbox{ タ }$ となる \bigskip  ので,$f(x)^2+g(x)^2=\fbox{ チ }$ となることがわかる。 \end{FRAME} \bigskip (1) $\textcircled{\footnotesize1}$ に $x=y=0$ を代入して \[ f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)-g(0)g(0)=f(0)^2-g(0)^2 \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize3} \] \bigskip  また,$\textcircled{\footnotesize2}$ でも同様に \[ g(0)=g(0+0)=f(0)g(0)+f(0)g(0)=2f(0)g(0) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize4} \] \bigskip  $\textcircled{\footnotesize4}$ から $g(0)(2f(0)-1)=0$ となるので $g(0)=0$ または $f(0)=\cfrac{1}{2}$ となるが,$f(0)=\cfrac{\: 1 \:}{2}$ と \bigskip  すると $\textcircled{\footnotesize3}$ に代入して \[ \cfrac{\: 1 \:}{2}=\cfrac{\: 1 \:}{4} -g(0)^2 \] \[ g(0)^2=-\cfrac{\: 1 \:}{4} \] \bigskip  これは $g(x)$ が実数値関数であることに反する。次に $g(0)=0$ のとき,$\textcircled{\footnotesize3}$ に代入して \[ f(0)=f(0)^2 \] \[ f(0)(f(0)-1)=0 \] \bigskip  よって $f(0)=0$ または $f(0)=1$ となるが,$f(0)=0$ のときは $f(0)^2+g(0)^2=0$ となって \bigskip  条件に反する。 \bigskip  以上より,$f(0)=1$,$g(0)=0$ $\cdots \cdots \cdots$ (答) \bigskip (2) \[ \cfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\cfrac{f(x)f(y)-g(x)g(y)-f(x)}{y}=\cfrac{f(x)(f(y)-1)-g(x)g(y)}{y}=\cfrac{f(y)-1}{y} f(x)-\cfrac{g(y)}{y} g(x) \] \[ \cfrac{g(x+y)-g(x)}{y}=\cfrac{f(x)g(y)+f(y)g(x)-g(x)}{y}=\cfrac{g(y)}{y} f(x)+\cfrac{f(y)-1}{y} g(x)  より \] \[ \cfrac{f(y)-1}{y} \cdots \cdots \cdots \fbox{ サ }   \cfrac{g(y)}{y} \cdots \cdots \cdots \fbox{ シ } \] \bigskip  次に \[ \displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\displaystyle \lim_{y \to 0} \left( \cfrac{f(y)-1}{y} f(x) -\cfrac{g(y)}{y} g(x) \right) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize5} \] \bigskip  ここで (1) より$\displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{f(y)-1}{y}=\displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{f(y)-f(0)}{y-0}=f'(0)=2$,$\displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{g(y)}{y} =\displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{g(y)-g(0)}{y-0}=$ \bigskip  $g'(0)=1$ なので $\textcircled{\footnotesize5}$ からすべての $x$ で微分可能で \[ f'(x)=\displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{f(x+y)-f(x)}{y} =2f(x)-g(x) \cdots \cdots \cdots \fbox{ ス } \] \bigskip  同様に, \[ g'(x)=\displaystyle \lim_{y \to 0} \cfrac{g(x+y)-g(x)}{y}= \displaystyle \lim_{y \to 0} \left( \cfrac{g(y)}{y} f(x)+\cfrac{f(y)-1}{y} g(x) \right) =f(x)+2g(x) \cdots \cdots \cdots \fbox{ セ } \] \bigskip これらより \[ F'(x)=\cfrac{2f(x) f'(x)+2g(x) g'(x)}{f(x)^2+g(x)^2}=\cfrac{4(f(x)^2+g(x)^2)}{f(x)^2+g(x)^2}=4 \cdots \cdots \cdots \fbox{ ソ } \] \bigskip よって $F(x)=4x+C$ ($C$ は積分定数) となるが,(1) の結果から $F(0)=\log 1=0$ より $C=0$。 \[ \therefore F(x)=4x \cdots \cdots \cdots \fbox{ タ }   すなわち  f(x)^2+g(x)^2=e^{4x} \cdots \cdots \cdots \fbox{ チ } \] \end{document}