神戸大学 前期文系 2004年度 問3

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期文系
年度 2004年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 国際文化学部 ・ 発達科学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 経営学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \usepackage{custom_suseum} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} \begin{FRAME} 初項が1で公差が自然数 $d$ である等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$n≧3$ \bigskip のとき,次の問いに答えよ。 \bigskip (1) $S_n=94$ となる $n$ と $d$ がちょうど1組ある。その $n$ と $d$ を求めよ。 \bigskip (2) $S_n=98$ となる $n$ と $d$ の組はない。その理由を述べよ。 \end{FRAME} \bigskip (1) 数列 $\{a_n\}$ を初項1,公差 $d$ の等差数列とすると $a_n=1+(n-1)d$ が成り立つ。このとき \[ S_n=\cfrac{1}{2} n(1+a_n)=\cfrac{1}{2} n(2+(n-1)d) となる。 \] \bigskip  $S_n=94$ のとき \[ n(2+(n-1)d)=188=2^2\cdot 47 \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1} \] \bigskip  $\textcircled{\footnotesize1}$ の左辺について, $n≧3$,$d$ が自然数であることより $2+(n-1)d≧2+2\cdot 1=4$ である \bigskip  ことを考慮すると $\textcircled{\footnotesize1}$ の解は \[ (n,2+(n-1)d)=(4,47),(47,4) \] \[ (n,d)=(4,15),(47,\cfrac{1}{23}) \] \bigskip  $d$ は自然数より $(n,d)=(4,15) \cdots \cdots \cdots (答)$ \bigskip (2) $S_n=98$ のとき $n(2+(n-1)d)=196=14^2=2^2\cdot 7^2$ となるので (1) と同様に \[ (n,2+(n-1)d)=(4,49),(7,28),(14,14),(28,7),(49,4) \] \[ (n,d)=(4,\cfrac{47}{3}),(7,\cfrac{26}{6}),(14,\cfrac{12}{13}),(28,\cfrac{5}{27}),(49,\cfrac{2}{48}) \] \bigskip  となり,いずれも $d$ が自然数とならないので $S_n=98$ となる $n$,$d$ は存在しない。 \end{document}