神戸大学 前期文系 2006年度 問3

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期文系
年度 2006年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 国際文化学部 ・ 発達科学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 経営学部
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \usepackage{custom_suseum} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} \begin{FRAME} $\alpha =\cfrac{3+\sqrt 7i}{2}$ とする。ただし,$i$ は虚数単位である。次の問いに答えよ。 \bigskip (1) $\alpha $ を解にもつような2次方程式 $x^2+px+q=0$ ($p$,$q$ は実数) を求めよ。 \bigskip (2) 整数 $a,b,c$ を係数とする3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ について,解の1つは \bigskip  $\alpha $ であり,また $0≦x≦1$ の範囲に実数解を1つもつとする。このような整数の組 \bigskip  $( a,b,c)$ をすべて求めよ。 \end{FRAME} (1) $p$,$q$ は実数より求める方程式は $\alpha $ とその共役複素数 $\overline{\alpha }=\cfrac{3-\sqrt7 i}{2}$ を解にもつ2次方程式 \bigskip  で,問題より最高次係数が1のもの。 \[ (x-\cfrac{3+\sqrt7 i}{2})(x-\cfrac{3-\sqrt7 i}{2})=0 \] \[ x^2-3x+4=0 \cdots \cdots \cdots (答) \] \bigskip (2) 与式は実数係数の方程式で $\alpha $ を解にもつので与式の左辺は(1)より $x^2-3x+4$ で割り切 \bigskip  れる。 \[ x^3+ax^2+bx+c=(x^2-3x+4)(x+3+a)+(5+3a+b)x-12-4a+c \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1} より \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 5+3a+b=0 \\ -12-4a+c=0 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} b=-3a-5 \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize2}\\ c=4a+12 \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize3} \end{array} \right. \] \bigskip  また実数解は $\textcircled{\footnotesize1}$ より $-a-3$。これは問題より $0≦-a-3≦1$ すなわち $-4≦a≦-3$ と \bigskip  なり,$a$ は整数であることから $a=-3,-4$。 \bigskip  以上より $\textcircled{\footnotesize2}$,$\textcircled{\footnotesize3}$ とあわせて \[ (a,b,c)=(-3,4,0),(-4,7,-4) \cdots \cdots \cdots (答) \] \end{document}