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解答作成者: GM
入試情報
大学名 |
神戸大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
2006年度 |
問No |
問3 |
学部 |
文学部 ・ 国際文化学部 ・ 発達科学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 経営学部
|
カテゴリ |
複素数と方程式
|
状態 |
 |
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\begin{document}
\begin{FRAME}
$\alpha =\cfrac{3+\sqrt 7i}{2}$ とする。ただし,$i$ は虚数単位である。次の問いに答えよ。
\bigskip
(1)
$\alpha $ を解にもつような2次方程式 $x^2+px+q=0$ ($p$,$q$ は実数) を求めよ。
\bigskip
(2)
整数 $a,b,c$ を係数とする3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ について,解の1つは
\bigskip
$\alpha $ であり,また $0≦x≦1$ の範囲に実数解を1つもつとする。このような整数の組
\bigskip
$( a,b,c)$ をすべて求めよ。
\end{FRAME}
(1)
$p$,$q$ は実数より求める方程式は $\alpha $ とその共役複素数 $\overline{\alpha }=\cfrac{3-\sqrt7 i}{2}$ を解にもつ2次方程式
\bigskip
で,問題より最高次係数が1のもの。
\[
(x-\cfrac{3+\sqrt7 i}{2})(x-\cfrac{3-\sqrt7 i}{2})=0
\]
\[
x^2-3x+4=0 \cdots \cdots \cdots (答)
\]
\bigskip
(2)
与式は実数係数の方程式で $\alpha $ を解にもつので与式の左辺は(1)より $x^2-3x+4$ で割り切
\bigskip
れる。
\[
x^3+ax^2+bx+c=(x^2-3x+4)(x+3+a)+(5+3a+b)x-12-4a+c \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1} より
\]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
5+3a+b=0 \\
-12-4a+c=0
\end{array}
\right.
\]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
b=-3a-5 \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize2}\\
c=4a+12 \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize3}
\end{array}
\right.
\]
\bigskip
また実数解は $\textcircled{\footnotesize1}$ より $-a-3$。これは問題より $0≦-a-3≦1$ すなわち $-4≦a≦-3$ と
\bigskip
なり,$a$ は整数であることから $a=-3,-4$。
\bigskip
以上より $\textcircled{\footnotesize2}$,$\textcircled{\footnotesize3}$ とあわせて
\[
(a,b,c)=(-3,4,0),(-4,7,-4) \cdots \cdots \cdots (答)
\]
\end{document}