神戸大学 前期文系 2010年度 問3

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期文系
年度 2010年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 国際文化学部 ・ 発達科学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 経営学部
カテゴリ 数と式 ・ 集合と論理
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \usepackage{custom_suseum} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} \begin{FRAME} $a$,$b$ を自然数とする。以下の問に答えよ。 \bigskip (1) $ab$ が3の倍数であるとき,$a$ または $b$ は3の倍数であることを示せ。 \bigskip (2) $a+b$ と $ab$ がともに3の倍数であるとき,$a$ と $b$ はともに3の倍数であることを示せ。 \bigskip (3) $a+b$ と $a^2+b^2$ がともに3の倍数であるとき,$a$ と $b$ はともに3の倍数であることを \bigskip  示せ。 \end{FRAME} \bigskip (1) $a$ も $b$ も3の倍数でないと仮定する。このとき,整数 $k$,$l$ をもちいて $a=3k \pm 1$,$b=3l \pm 1$ \bigskip  とおける。(複合任意) すると \bigskip     $ab=(3k\pm 1)(3l\pm 1)=9kl\pm 3k \pm 3l \pm 1=3(3kl \pm k \pm l)\pm 1$ (複合任意) \bigskip  いずれの場合も $ab$ が3の倍数でなくなるので $ab$ が3の倍数という仮定に反する。よって, \bigskip  $ab$ が3の倍数であるとき $a$ または $b$ は3の倍数である。 \bigskip (2) $ab$ が3の倍数より(1)から $a$ または $b$ は3の倍数。いま,$a$ を3の倍数,$b$ を3の倍数でな \bigskip  いとすると $a=3k$,$b=3l \pm 1$ とおける。このとき, \[ a+b=3(k+l) \pm 1 \] \bigskip  となり,$a+b$ が3の倍数でなくなるので $a+b$ が3の倍数という仮定に反する。 \bigskip  $a$ を3の倍数でない,$b$ を3の倍数としたときも同様に反する。よって,$a$,$b$ はともに3の \bigskip  倍数である。 \bigskip (3) (2) より $ab$ が3の倍数となることを示せばよい。 \[ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \] \[ 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2) \] \bigskip  $a+b$,$a^2+b^2$ は3の倍数より,右辺は3の倍数。よって $2ab$ も3の倍数。 \bigskip  2と3は互いに素より,$ab$ が3の倍数となる。故に,$a$,$b$ はともに3の倍数となる。 \end{document}