立命館大学 理系A 2005年度 問1

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 立命館大学
学科・方式 理系A
年度 2005年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \usepackage{custom_suseum} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} \begin{FRAME} (1) $t$ を実数とする。整式 $f(x)$ を $(x-t)^2$ で割った余りは $\fbox{ ア }$ $f'(t)+f(t)$ である。 \bigskip  よって,方程式 $f(x)=0$ の解 $t$ がこの方程式の重解であるための必要十分条件は, \bigskip  $f'(t)= \fbox{ イ }$ である。ただし,$t$ が $f(x)=0$ の重解であるとは,$f(x)$ が $(x-t)^2$ で \bigskip  割り切れることである。 \bigskip (2) $a$,$b$ を実数として,4次式 $f(x)=3x^4-4x^3-6a^2x^2+12a^2x+b$ について考える。 \bigskip  $f(x)=0$ が実数の重解を持つのは $b$ が $a$ を用いて $b=\fbox{ ウ }$ ,または $b=\fbox{ エ }$ , \bigskip  または $b=\fbox{ オ }$ と表される3つの場合である。重解が2つあるのは,条件 $a>0$, \bigskip  $a\ne 1$ のもとでは $a=\fbox{ カ }$ ,$b=\fbox{ キ }$ のときで,その2つの重解は $\fbox{ ク }$ と $\fbox{ ケ }$ \bigskip  である。 \end{FRAME} (1) $f(x)$ を $(x-t)^2$ でわったときの商を $Q(x)$,あまりを $ax+b$ とおくと $f(x)=(x-t)^2Q(x)+$ \bigskip  $ax+b \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1}$ とかける。このとき,$f'(x)=2(x-t)Q(x)+(x-t)^2Q'(x)+a $ が成り立つ。 \bigskip  これより $f'(t)=a$ となる。 \bigskip  また,$f(t)=at+b$ から $b=f(t)-at=f(t)-tf'(t)$ となるので,求めるあまりは \[ ax+b=f'(t)x+f(t)-tf'(t)=(x-t)f'(t)+f(t) \cdots \cdots \cdots \fbox{ ア } \] \bigskip  $\textcircled{\footnotesize1}$ より $t$ が $f(x)=0$ の重解となるとき, $ax+b=0$ がすべての $x$ について成り立つこと \bigskip  である。係数比較して $a=f'(t)=0$ かつ $b=f(t)-tf'(t)=0$ となる。 $f'(t)=0$ であれば, \bigskip   $t$ は $f(x)=0$ の解より$f(t)=0$ なので $b=0$ となる。 \bigskip  逆に,$f'(t)=0$ とすれば $a=0$,$b=0-t\cdot 0=0$ より解 $t$ は $f(x)=0$ の重解となる。以上 \bigskip  より,求める条件は $f'(t)=0\cdots \cdots \cdots \fbox{ イ }$ \bigskip (2) \[ f'(x)=12x^3-12x^2-12a^2x+12a^2 \] \[ =12(x^3-x^2-a^2x+a^2) \] \[    =12(x-a)(x^2+(a-1)x-a) \] \[   =12(x-a)(x+a)(x-1) \] \bigskip  (1)より,$f(x)=0$ の重解となりえるのは $x=a$,$x=-a$,$x=1$ であるので $f(a)=0$, \bigskip  $f(-a)=0$,$f(1)=0$,すなわち \[ f(a)=-3a^4+8a^3+b=0 \therefore b=3a^4-8a^3 \cdots \cdots \cdots \fbox{ ウ } \] \[ f(-a)=-3a^4-8a^3+b=0 \therefore b=3a^4+8a^3 \cdots \cdots \cdots \fbox{ エ } \] \[ f(1)=-1+6a^2+b=0 \therefore b=-6a^2+1 \cdots \cdots \cdots \fbox{ オ } \] \bigskip  $b=3a^4-8a^3$ のとき $x=a$ は重解より $f(x)$ は $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$ でわりきれること \bigskip  に注意して $f(x)=(x^2-2ax+a^2)(3x^2+(6a-4)x+3a^2-8a)$ と変形できる。$3x^2+(6a-$ \bigskip  $4)x+3a^2-8a=0$ の判別式を $D_1$ とすると,この2次方程式が重解をもつとき \[ \cfrac{D_1}{4}=(3a-2)^2-3(3a^2-8a)=0 \] \bigskip  これを解くと $a=-\cfrac{1}{3}$ となって $a>0$ をみたさない。 \bigskip  $b=3a^4+8a^3$ のとき $x=-a$ は重解より $f(x)=(x^2+2ax+a^2)(3x^2+(-6a-4)x+3a^2+$ \bigskip  $8a) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize2}$ と変形でき,$3x^2+(-6a-4)x+3a^2+8a=0$ の判別式を $D_2$ とすれば,この \bigskip  2次方程式が重解をもつとき \[ \cfrac{D_2}{4}=(3a+2)^2-3(3a^2+8a)=0 \] \bigskip  これを解くと $a=\cfrac{1}{3}$ となり $a>0$,$a\ne1$ をみたす。このとき $b=3\cdot \cfrac{1}{81} +8\cdot \cfrac{1}{27}=\cfrac{1}{3}$ となる。 \bigskip  さらに $\textcircled{\footnotesize2}$ にも代入して \[ f(x)=(x+\cfrac{1}{3})^2(3x^2-6x+3)=3(x+\cfrac{1}{3})^2(x-1)^2 \] \bigskip  より,確かに2つの重解をもち,その解は $x=-\cfrac{1}{3}$,$1$ である。 \bigskip $b=-6a^2+1$ のときも同様に $f(x)=(x^2-2x+1)(3x^2+2x+1-6a^2)\cdots \cdots \textcircled{\footnotesize3}$ となって \bigskip  $3x^2+2x+1-6a^2=0$ の判別式 $D_3$ に対して $\cfrac{D_3}{4}=1-3(1-6a^2)=0$ を解くと $a>0$ から \bigskip  $a=\cfrac{1}{3}$ となる。このとき $b=\cfrac{1}{3}$ であり, $\textcircled{\footnotesize3}$ へも代入して \[ f(x)=3(x+\cfrac{1}{3})^2(x-1)^2 \] \bigskip  このときも2つの重解をもつ。 \bigskip  以上より $a=\cfrac{1}{3} \cdots \cdots \fbox{ カ }$,$b=\cfrac{1}{3} \cdots \cdots \fbox{ キ }$,重解 $x=-\cfrac{1}{3}$,$1 \cdots \cdots \fbox{ ク }$,$\fbox{ ケ }$ \end{document}