京都府立医科大学 前期 2013年度 問3

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解答作成者: Go

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入試情報

大学名 京都府立医科大学
学科・方式 前期
年度 2013年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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% % すうじあむはアップするファイルで完結したTeXソースでないといけない. % このひな形で表示確認をしよう. % \documentclass[b5paper,fleqn,papersize]{jsarticle} %=========================================================== % ■余白の設定 B5 %----------------------------------------------------------- \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} % 左マージン \setlength{\topmargin}{-15.4truemm} % 上マージン \setlength{\textwidth}{14.2cm} % B5 サイズ用 \setlength{\headheight}{2zw} \setlength{\headsep}{2zw} \setlength{\textheight}{217mm} %=========================================================== \usepackage[dvipdfm]{graphicx,color} %\usepackage{wallpaper} \usepackage{wrapfig} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \usepackage{multicol} \usepackage{longtable} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{framed} \usepackage{ifthen} \usepackage{setspace} % setspaceパッケージのインクルード \usepackage{amssymb}% ≒を表示するために必要 % \usepackage{comment}% コメント% mebio.styと競合する \usepackage{booktabs} \usepackage{ascmac} \usepackage{itembbox} % % \usepackage{ custom_suseum}% すうじあむ %========================================================= %============================================================ % ■ 分数の横棒を長く,分数を立てに狭く(emath.styの古い記述) %------------------------------------------------------------ % 分数記号(分数罫を少し長めに) \newcommand{\bunsuu}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}}% % さらに罫線の上下を狭く. \newcommand\Dfrac[2]{\bunsuu{\lower.6ex\hbox{$#1$}}{\lower-.3ex\hbox{$#2$}}}% %============================================================ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % enumerate の自動ラベルの変更 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\labelenumi{(\theenumi)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 増減表の矢印 % http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/kumazawa/tex/arrow.html % % $\cvinc$ increase % $\ccinc$ concavity 凹状の % $\cvdec$ convex 凸形の % $\ccdec$ decrease % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ccinc}{\ifx\@currsize\small   \setlength{\unitlength}{1.1pt}   \begin{picture}(10,10)(1,2)   \put(1,2){\line(0,1){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[lt]}   \put(5,9){\vector(1,0){4}}   \end{picture}\else   \setlength{\unitlength}{1.2pt}   \begin{picture}(10,10)(1,2)   \put(1,2){\line(0,1){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[lt]}   \put(5,9){\vector(1,0){4}}   \end{picture}\fi} \newcommand{\cvinc}{\ifx\@currsize\small   \setlength{\unitlength}{1.1pt}   \begin{picture}(10,10)(2,1)   \put(2,1){\line(1,0){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[rb]}   \put(9,5){\vector(0,1){4}}   \end{picture}\else   \setlength{\unitlength}{1.2pt}   \begin{picture}(10,10)(2,1)   \put(2,1){\line(1,0){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[rb]}   \put(9,5){\vector(0,1){4}}   \end{picture}\fi} \newcommand{\ccdec}{\ifx\@currsize\small   \setlength{\unitlength}{1.1pt}   \begin{picture}(10,10)(2,1)   \put(2,9){\line(1,0){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[rt]}   \put(9,5){\vector(0,-1){4}}   \end{picture}\else   \setlength{\unitlength}{1.2pt}   \begin{picture}(10,10)(2,1)   \put(2,9){\line(1,0){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[rt]}   \put(9,5){\vector(0,-1){4}}   \end{picture}\fi} \newcommand{\cvdec}{\ifx\@currsize\small   \setlength{\unitlength}{1.1pt}   \begin{picture}(10,10)(1,0)   \put(1,8){\line(0,-1){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[lb]}   \put(5,1){\vector(1,0){4}}   \end{picture}\else   \setlength{\unitlength}{1.2pt}   \begin{picture}(10,10)(1,0)   \put(1,8){\line(0,-1){3}}   \put(5,5){\oval(8,8)[lb]}   \put(5,1){\vector(1,0){4}}   \end{picture}\fi} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %====================================================================== \newcommand{\解説印}{\fboxsep=1.3pt\noindent\ovalbox{\bf \,解\,説\,}\hspace{0.5em}} % \newcommand{\解答印}{\fboxsep=1.3pt\noindent\fbox{\bf \,解\,答\,}\hspace{0.5em}} \newcommand{\解答印}{\shadowsize=0.15\shadowsize{\fboxsep=1.3pt\noindent\shadowbox{\bf \,解\,答\,}\hspace{0.5em}}} \newcommand{\別解印}{\fboxsep=1.3pt\noindent\fbox{\bf \,別\,解\,}\hspace{0.5em}} \newcommand{\注意印}{\noindent{\bf [注意]}\hspace{0.5em}} %====================================================================== %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %■ベクトルの矢印の高さを揃える定義 % \overrightarrow の矢印の高さを揃える % \vec, \Vec で定義する %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\vec#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut {\rm #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=========================================================== % ■二重根号 %----------------------------------------------------------- \def\tsqrt#1{\textstyle\sqrt{#1}} %=========================================================== %%% 平行 // の記号%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\para{% \setlength{\unitlength}{1pt}% \thinlines % \begin{picture}(10, 12)% \put(1,0){/}% \put(4,0){/}% \end{picture}% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %■ 答えを太文字 \newcommand{\kotae}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}} % \def\kotae#1{\mbox{\boldmath $#1$}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=========================================================== % ■枠囲み %----------------------------------------------------------- \newcommand{\枠囲}[1]{\,\fboxsep1pt\fbox{ #1 }\,}% 文章中でも数式中でも使える? % \newcommand{\枠}[1]{\fboxsep1pt\fbox{ #1 }\,} %=========================================================== %=========================================================== % ■≦と≧の定義 %----------------------------------------------------------- \def\le{\leqq} \def\ge{\geqq} \newcommand{\LEQQ}{\leqq} \newcommand{\GEQQ}{\geqq} % \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} % \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} % \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ %     \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} % エラーになる。理由はよく解らん。 %=========================================================== %=========================================================== % ■行列 2×2 %----------------------------------------------------------- \newcommand{\matrixTT}[4]{ \begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{pmatrix} } %=========================================================== %=========================================================== % ■行列 3×3 %----------------------------------------------------------- \newcommand{\matrixTTT}[9]{ \begin{pmatrix} #1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6\\ #7 & #8 & #9 \end{pmatrix} } %=========================================================== %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % ■ 3*1行列の定義 \newcommand{\matrixthreeone}[3]{ \left(\begin{array}{c} #1\\ #2\\ #3 \end{array}\right) } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=========================================================== % ■△ABCとか % % 「$\∠{ABC}=\Dfrac12\pi$」のような使い方をするので「$」は定義に含めない % %----------------------------------------------------------- \def\△#1{\triangle{\rm #1}} \def\∠#1{\angle{\rm #1}} %=========================================================== %=========================================================== % ■角括弧 複数行 #1 は横幅%,#2は内容 % %----------------------------------------------------------- \newcommand{\角括弧}[2]{% $% \left[ \begin{tabular}{@{}p{.#1\linewidth}}#2\end{tabular} \right]% $% } %=========================================================== %=========================================================== % ■丸括弧 複数行 #1 は横幅%,#2は内容 %----------------------------------------------------------- \newcommand{\丸括弧}[2]{% $% \left( \begin{tabular}{@{}p{.#1\linewidth}}#2\end{tabular} \right)% $% } %=========================================================== %=========================================================== % ■丸囲み数字 ①とか %----------------------------------------------------------- \newcommand{\tyoMaru}[1]{\mbox{{\normalsize \textcircled{\raisebox{-.25ex}{#1}}}}} %=========================================================== %=========================================================== % ■ 微分 df/dt %----------------------------------------------------------- \newcommand{\dd}[2]{% \dfrac{{\rm d}#1}{{\rm d}#2}% } %=========================================================== %=========================================================== % ■ ∫記号のdisplaystyleマクロ %----------------------------------------------------------- % \newcommand{\dint}{\displaystyle\int}% emathと干渉しないように\defで定義 \def\dint{\displaystyle\int} %=========================================================== %=========================================================== % ■ Σ記号のdisplaystyleマクロ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum} %=========================================================== %=========================================================== % ■ lim記号のdisplaystyleマクロ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim} \newcommand{\Dsum}{\sum\limits}% ちっさいΣ %=========================================================== %=========================================================== % ■ nCr マクロ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\nCr}[2]{% {}_{#1}\mathrm{C}_{#2}% } %=========================================================== %=========================================================== % ■ 証明終了記号 ■ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\■}{{\tiny \text{■}}} %=========================================================== \begin{document} %%%%%  ■ 本文開始 ■ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\begin{FRAME}% この間に設問を書く% \usepackage{ custom_suseum} をゆうこうにすること \begin{framed} 1辺の長さが1の正四面体$T$がある. $T$に内接する球の半径を$a$, $T$に外接する球の半径を$b$とする. $T$に内接する球の中心をOとし, Oから正四面体$T$の辺の中点までの距離を$c$とする. Oを中心とする半径$r$(ただし$a<r\LEQQ c$)の球$B_r$を考える. $B_r$から$T$の内部に含まれる部分を除いてできる立体の体積を$V(r)$とする. \begin{enumerate} \item $a$,$b$,$c$の値を求めよ. \item $a<r\LEQQ c$の範囲で,$\Dfrac{V(r)}{r^6}$が最大となる$r$を求めよ. \end{enumerate} \end{framed} %\end{FRAME} %--- 解答 ------------------------------------------------------------------------ {\footnotesize \解答印  \quad (1) $(a,\,b,\,c)= \left(\Dfrac{\sqrt6}{12},\,\Dfrac{\sqrt6}4,\,\Dfrac{\sqrt2}4\right)$, \qquad (2) $r=\Dfrac{1+\sqrt5}2a$ \noindent% \begin{minipage}[t]{0.48\linewidth} \vspace{0mm} \noindent{\bf (1)}  1辺の長さが1の正四面体は, 1辺の長さが$\Dfrac1{\sqrt2}$の立方体$S$に内接し, 点Oは立方体の中心(立方体に内外接する球の中心)に一致する. 図のようにA,B,C,D,Eを定め,Dから面ABCに下ろした垂線の足をHとする. $c$は,BCの中点とOとの距離なので, \[ c=\Dfrac12{\rm{AD}}=\Dfrac12\Dfrac1{\sqrt2}=\Dfrac{\sqrt2}4 \] である. \end{minipage} \hspace{0.02\linewidth} \begin{minipage}[t]{.45\linewidth} \vspace{0mm} \input{13.3.1.tex} \quad \input{13.3.2.tex} \end{minipage} また $b={\rm{OE}}=\Dfrac12{\rm DE} =\Dfrac12\sqrt{1^2+\left(\Dfrac1{\sqrt2}\right)^2} =\Dfrac12\sqrt{\Dfrac32}=\Dfrac{\sqrt6}4$である. 更に,$a={\rm{OH}}=b-{\rm{DH}}$であるが, \[ |\Vec{DH}|^2=\left|\Dfrac13(\Vec{DA}+\Vec{DB}+\Vec{DC})\right|^2 =\Dfrac19 \left\{  \left(\Dfrac1{\sqrt2}\right)^2  + \left(\Dfrac1{\sqrt2}\right)^2   + \left(\Dfrac1{\sqrt2}\right)^2 \right\} =\Dfrac19\cdot\Dfrac32=\Dfrac16 \] より${\rm{DH}}=\Dfrac{\sqrt6}6$ なので, $a %=b-{\rm{OH}} =\Dfrac{\sqrt6}4-\Dfrac{\sqrt6}6 =\Dfrac{\sqrt6}{12}$となる. 以上より$(a,\,b,\,c)= \left(\Dfrac{\sqrt6}{12},\,\Dfrac{\sqrt6}4,\,\Dfrac{\sqrt2}4\right)$ である. \vspace{1em} { \begin{wrapfigure}{r}{.27\linewidth} \vspace*{-\intextsep} \input{13.3.3.tex} \end{wrapfigure} \noindent{\bf (2)}  $r=c$のとき,球$B_r$は立方体$S$に内接するので, 面ABCによる球$B_r$の切断面は,$\△{ABC}$の内接円となる. したがって,$a<r\LEQQ c$のとき,この切断面は常に円であり, その円は$\△{ABC}$の外部に出ることはない. よって,体積$V(r)$は,図の斜線部分を$x$軸周りに回転したものを 4倍したものである. % すなわち \begin{align*} V(r)&=4\int_a^r\pi\left( \sqrt{r^2-x^2}\, \right)^2\,dx =4\pi\int_a^r(r^2-x^2)\,dx\\ &=4\pi\left[r^2x-\Dfrac{x^3}3\right]_a^r =4\pi\left\{r^2(r-a)-\Dfrac13(r^3-a^3)\right\}\\ &=\Dfrac43\pi(2r^3-3ar^2+a^3) \end{align*} } ゆえに$U(r)=\Dfrac{V(r)}{r^6}$とすると, $U(r)=\Dfrac{4\pi}{3r^6}(2r^3-3ar^2+a^3)$, $U'(r)=-\Dfrac{8\pi}{r^7}(r-a)(r^2-ar-a^2)$. \begin{wrapfigure}{r}{.39\linewidth} \vspace*{-\intextsep} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $r$    & $(a)$ & $\cdots$ &$\Dfrac{1+\sqrt5}2a$& $\cdots$  \\ \hline $U'(r)$& $(0)$ & $+$      & $0$                & $-$       \\ \hline $U(r)$ &       &$\nearrow$&                    & $\searrow$\\ \hline \end{tabular} \end{wrapfigure} ここで$r^2-ar-a^2=0 \Longleftrightarrow r=\Dfrac{1\pm\sqrt5}2a$であり,\\ $(0<)\, a<r$において,$U(r)$は$r=\Dfrac{1+\sqrt5}2a$で最大となる. また,この値は,$\Dfrac{c}{a}=\Dfrac{\sqrt2}4\cdot\Dfrac{12}{\sqrt6}=\sqrt3$より,\\ $a<\Dfrac{1+\sqrt5}2a<\sqrt3 a=c$であるから,$a<r\LEQQ c$を満たす. }% footnotesize %%%%%%%  ■ 本文終了 ■ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}