東京医科歯科大学 前期 2011年度 問2

問題へ戻る

解答作成者: 大塚 美紀生

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問2
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=138mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.6}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-1.7zw}\parbox{136mm} {\qquad 座標平面において,原点をOとし,次のような3点P,\ \ Q,\ \ Rを考える。\\[8mm]% \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.8mm][c]{\large a})}点Pは$x軸上にあり,そのx$座標は正 である。\\[1.5mm]\makebox[3zw][c]{(\makebox[1.8mm][c]{\large b})}点Qは第1象限に あって,OQ\makebox[14pt][c]{\raisebox{.5pt}{=}}QP\makebox[13pt][c] {\raisebox{.5pt}{=}}1を満たす。\\[1.5mm]\makebox[3zw][c] {(\makebox[1.8mm][c]{\large c})}点Rは第1象限にあって,OR\makebox[16pt][c] {\raisebox{.5pt}{+}}RP\makebox[13pt][c]{\raisebox{.5pt}{=}}2を満たし,かつ 線分RPが$x$軸に\\[1.5mm]\qquad 垂直となる。\\[8mm]% \qquad ただし,座標軸は第1象限に含めないものとする。このとき以下の各問いに答 \\ [1.5mm]\quad えよ。\\[8mm]\makebox[3zw][c] {(\makebox[1.5mm][c]{\large 1})}上の条件を満たす2点Q,\ \ Rが存在するような, 点Pの$x$座標が取りうる値\\[1.5mm]\qquad の範囲を求めよ。\\[8mm]\makebox[3zw][c] {\raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{\large 2})}}\hspace*{-1pt}\raisebox{.5pt} {(\makebox[1.5mm][c]{\large 1})}の範囲を点Pが動くとき,線\hspace*{.3pt}分QRが% \hspace*{.3pt}通\hspace*{.3pt}過\hspace*{.3pt}す\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}% 領\hspace*{.3pt}域\hspace*{.3pt}を\hspace*{.3pt}図\hspace*{.3pt}示\hspace* {.3pt}し,そ\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}面\hspace*{.3pt}積\\[1.5mm] \qquad を求めよ。\\[8mm]% \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 3})}線分OPの中点をMとする。 \raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{\large 1})}の範囲を点Pが動くとき,四角形 MPRQの\\[1.5mm]\qquad 面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ。} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[1mm] \raisebox{.5pt}{(1)\ \ (b),\,(a)}より \\[1mm] \hspace*{6zw} \mathrm{Q(\cos\theta,\ \sin\theta),\ \ P(2\cos\theta,\ 0)} \ \ \left(0<\theta<\frac{\,\pi\,}{2}\right) \\[1.5mm] \quad とおくことができる。\ \ \raisebox{.5pt}{(c)}より \\[.3mm] \hspace*{6zw} \mbox{R}(2\cos\theta,\ r) \quad (r>0) \\[.3mm] \quad \mbox{と表され,OR\,+\,RP\,=\,2}より \\[.5mm] \hspace*{6zw}\! \sqrt{\hspace*{1pt}(2\cos\theta)^2+r^2\,}+r=2 \\[.3mm] \hspace*{6zw} 4\cos^2 \theta+r^2=(2-r)^2 \\ \hspace*{6zw} 4\cos^2 \theta=4-4r \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ r=1-\cos^2 \theta \\[2mm] \quad\, 2点\mbox{Q,\ \,Rが存在するような点P}のx座標2\cos\theta \left(0<\theta <\frac{\,\pi\,}{2}\right)のとりうる値の\\[.8mm]\quad 範囲は \\[-.3mm] \hspace*{8zw} 0<x<2 \ \ \ (答) \\[4mm] (2)\ \ \mbox{R}(x,\ y)とおくと,\\[1mm] \hspace*{6zw} x=2\cos\theta,\ \ y=1-\cos^2 \theta \ \ \left(0<\theta<\frac{\,\pi\,}{2}\right) \\[1.5mm] \quad と表されるから,\ \ \theta\,を消去すると \\[1mm] \hspace*{6zw} y=1-\frac{\,x^2}{4} \ \ (0<x<2) \\[2mm] \quad ここで,\\[.5mm]\hspace*{6zw} f(x)=1-\frac{\,x^2}{4}-\sqrt{\,1-x^2\,} \ \ (0\leqq x\leqq 1) \\[2mm] \quad とおくと,\ \ 0<x<1において \\[.5mm] \hspace*{6zw} f'(x)=-\frac{\,x\,}{2}-\frac{1}{\,2\sqrt{\,1-x^2\,}\,}(-2x) =\frac{\,x(2-\sqrt{\,1-x^2\,}\,)\,}{2\sqrt{\,1-x^2\,}}>0 \\[1.5mm] \quad であるから,\ \ 0\leqq x\leqq 1においてf(x)は狭義単調増加であり,\ \ 0<x\leqq 1のとき \\ \hspace*{6zw} f(x)>f(0)=0 \\[1.5mm] \quad\, \mathrm{Q(\cos\theta,\ \sin\theta)とR}(2\cos\theta,\ 1-\cos^2 \theta)を 結ぶ線分の0<\theta<\frac{\,\pi\,}{2}\,\vspace*{1mm}における通過\hspace*{1zw}領 域は,次図の網目部分となる。ただし,境界線は実線部を含み,\ \,\circ 印および 破\\ \quad 線部を含まない。\\ \hspace*{16zw} \begin{picture}(100,54) \Nuritubusi[.2]{(30,0)(60,0)(50,10)(40,17)(30,23)(20,27)(12,29)(5,30) (13,27)(18,24)(23,20)(26,15)(29,8)(30,0)} \put(-9,-9){\small O} \path(-90,0)(30,0) \path(60,0)(95,0) \path(90, -1.5)(95,0)(90, 1.5) \put(89,-8){$x$} \path(0,-40)(0,50) \path(-1.5, 45)(0,50)(1.5, 45) \put(-8,45){$y$} \qbezier(-88,-35)(-44,30)(0,30) \qbezier(0,30)(44,30)(88,-35) \allinethickness{.5pt}\En{(0,0)}{30} \put(-6.5, 32){\small 1} \En*[0]{(0,30)}{1.5} \En*[0]{(30,0)}{1.5} \En*[0]{(60,0)}{1.5} \path(33.5, 0)(36, 0) \path(38.6, 0)(41.1, 0) \path(43.7, 0)(46.2, 0) \path(48.8, 0)(51.3, 0) \path(53.9, 0)(56.4, 0) \put(31,-9){\small 1} \put(55,-9){\small 2} \put(112,-20){(答)} \end{picture} \\[14mm] \quad この領域の面積は \\[1.2mm]\hspace*{5zw} \int_0^{\hspace*{1pt}2} \biggl(1-\frac{\,x^2}{4}\biggr)dx-\pi\ten 1^2 \times\!\frac{1}{\,4\,}=\left[\,x-\frac{\,x^3}{\,12\,}\,\right]_0^2 -\frac{\,\pi\,}{4}=\frac{\,4\,}{3}-\frac{\,\pi\,}{4} \ \ \ (答) \\[5mm] (3)\ \ \mathrm{OPの中点Mは(\cos\theta,\ 0)であるから,四角形MPRQ}の 面積S(\theta)は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} S(\theta)=\frac{1}{\,2\,}\ten\mathrm{\bigl(\,\overline{MQ}+\overline{PR}\, \bigr)\ten\overline{MP}}=\frac{1}{\,2\,}(\sin\theta+\sin^2 \theta)\cos\theta \\[2mm]\quad であり,微分すると \\[1.5mm]\makebox[7.5zw][r] {$S'(\theta)$}=\frac{1}{\,2\,}(\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta +\frac{1}{\,2\,}(\sin\theta+\sin^2 \theta)(-\sin\theta) \\[1.5mm] \hspace*{7.5zw} =\frac{1}{\,2\,}(1+2\sin\theta)(1-\sin^2 \theta) -\frac{1}{\,2\,}(\sin^2 \theta+\sin^3 \theta) \\[1.5mm]\hspace*{7.5zw} =\frac{1}{\,2\,}(1+2\sin\theta-2\sin^2 \theta-3\sin^3 \theta) \\[1.5mm] \hspace*{7.5zw}=\frac{1}{\,2\,}(1+\sin\theta)(1+\sin\theta-3\sin^2 \theta) \\[1.5mm]\hspace*{7.5zw} =-\frac{\,3\,}{2}(\sin\theta+1)\biggl(\sin\theta-\frac{\,1-\sqrt{\,13\,}\,} {6}\biggr)\!\biggl(\sin\theta-\frac{\,1+\sqrt{\,13\,}\,}{6}\biggr) \\[1.5mm] \quad\, 0<\theta<\frac{\,\pi\,}{2}\,においてS'(\theta)は-\!\biggl(\sin\theta -\frac{\,1+\sqrt{\,13\,}\,}{6}\biggr)と同符号であるから,\\[1mm] \hspace*{6zw} \sin\alpha=\frac{\,1+\sqrt{\,13\,}\,}{6},\ \ 0<\alpha<\frac{\,\pi\,}{2} \\[1.5mm] \quad を満たす定数\,\alpha\,を用いて,\ \ S(\theta)の増減は \\[1.2mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} \theta & (0) & & \alpha & &\! \Bigl(\raisebox{.5mm}{$\dfrac{\,\raisebox{-.5mm} {$\pi$}\,}{2}$}\Bigr) \\[2mm]\hline S'(\theta) & & + & 0 & - & \\ \hline S(\theta) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\ [1.5mm]\quad 四角形\mbox{MPRQ}の面積S(\theta)は\,\theta=\alpha\,のとき最大で あり,このとき点\mbox{P}のx座標は \\[1mm] \makebox[9zw][r]{$2\cos\alpha$}=2\sqrt{\,1-\sin^2 \alpha\,} \\[1.5mm] \hspace*{9zw} =2\sqrt{\,1-\biggl(\frac{\,1+\sqrt{\,13\,}\,}{6}\biggr) \hspace*{-3pt}\raisebox{12pt}{\footnotesize 2}\,} \\[1.5mm] \hspace*{9zw} =\frac{\sqrt{\,22-2\sqrt{\,13\,}\,}\,}{3} \ \ \ (答) $ \end{document}