東京医科歯科大学 前期 2011年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問1
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.6}} \end{picture}} \def\Ten{\begin{picture}(7.5, 8) \put(4, 3.5){\circle*{2}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \hfill 医学部医学科 \\[1mm]\fbox{\hspace*{-.5zw}\parbox{136mm} {\tabtopsp{-4mm}\qquad ある硬貨を投げたとき,表と裏がそれぞれ確率$ \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[15pt][c]{2}}\hspace*{1pt}で出るとする。 この硬貨を\\[1.5mm]\quad 投げる操作を繰り返し行い,\ \ 3回続けて表が出たとき この操作を終了する。自然\\[1.5mm]\quad 数nに対し,\\[1.5mm]\hspace*{3zw} 操作がちょうどn回目で終了となる確率をP_{\hspace*{1pt}n} \\[1.5mm] \hspace*{3zw} 操作がn回以上繰り返される確率をQ_{\hspace*{1pt}n} \\[1.5mm] \quad とする。このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 1})} P_{\hspace*{1pt}3},\ P_{\hspace*{1pt}4},\ P_{\hspace*{1pt}5},\ P_{\hspace*{1pt}6},\ P_{\hspace*{1pt}7}\,をそれぞれ求めよ。\\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 2})} Q_{\hspace*{1pt}6},\ \, Q_{\hspace*{1pt}7}\,をそれぞれ求めよ。\\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 3})} n\geqq 5のとき,\ \ Q_{\hspace*{1pt}n}-Q_{\hspace*{1pt}n-1}\,をQ_{\hspace*{1pt}n-4}\,を用いて表せ。 \\[8mm]\makebox[3zw][c] {(\makebox[1.5mm][c]{\large 4})} n\geqq 4のとき,\ \ Q_{\hspace*{1pt}n}\, \mbox{\Large$<$}\,\Bigl(\!\dfrac{\raisebox{-.5mm}{3}}{\makebox[15pt][c]{4}}\! \Bigr)\!\raisebox{11pt}{\small$\frac{n-3}{4}$}\,が成り立つことを示せ。$\\}\ } $\displaystyle \\[4mm]% (1)\ \ ちょうど3回で終了するのは,\ \ 3回続けて表が出る場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_3=\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}=\frac{1}{\,8\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど4回で終了するのは,裏表表表と出る場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_4=\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど5回で終了するのは,\ \ 2回目に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る \\ \quad 場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_5=\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど6回で終了するのは,\ \ 3回目に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る \\ \quad 場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_6=\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど7回で終了するのは,はじめの3回で少なくとも1回裏が出て,\ \ 4回目 \\ \quad に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_7=\biggl\{1-\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}\biggr\}\times \frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}=\frac{7}{\,128\,} \ \ \ (答) \\[5mm] (2)\ \ 操作が6回以上繰り返されるのは,\ \ 5回までに終了しない場合であるから \\ \makebox[7.3zw][r]{$Q_6$}=1-P_3-P_4-P_5 \\[1.5mm] \hspace*{7.3zw} =1-\frac{1}{\,8\,}-\frac{1}{\,16\,}-\frac{1}{\,16\,} =\frac{3}{\,4\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad 同様に考えて,\\ \makebox[7.3zw][r]{$Q_7$}=1-P_3-P_4-P_5-P_6 \\ \hspace*{7.3zw} =Q_6-P_6 \\[1.5mm]\hspace*{7.3zw} =\frac{3}{\,4\,}-\frac{1}{\,16\,}=\frac{11}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[7mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}の考察を参考にすると,\\ \hspace*{6zw} Q_{n-1}-Q_n=P_{n-1} \\[.5mm] \quad \raisebox{.5pt}{(1)}の考察より,ちょうどn-1回で終了するのは,\ \ n-5回目 で終了しないで,\\ \quad\, n-4回目に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る場合 であるから \\[1.5mm]\hspace*{6zw} P_{n-1}=Q_{n-4}\times\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,}Q_{n-4} \\[2mm] \quad 以上の2式より \\[1mm] \hspace*{6zw} Q_n-Q_{n-1}=-\frac{1}{\,16\,}Q_{n-4} \ \ \ (答) \\[7mm] (4)\ \ n\geqq 4のとき \\[.5mm] \hspace*{6zw} Q_n<\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)\hspace*{-3pt}\raisebox{10pt} {\small$\frac{\,n-3\,}{4}$} \hfill\cdots\cdots\ (*) \hspace*{6zw}\\[1.8mm] \quad が成り立つことを数学的帰納法で示す。\\ \qquad \raisebox{.5pt}{(1),\ (2)}より \\[1mm] \hspace*{6zw} Q_4=1-P_3=\frac{7}{\,8\,},\ \ Q_5=Q_4-P_4=\frac{7}{\,8\,}-\frac{1}{\,16\,}=\frac{13}{\,16\,} \\[1.8mm] \hspace*{6zw} Q_6=\frac{3}{\,4\,},\ \ Q_7=\frac{11}{\,16\,} \\[2.5mm] \quad\, \Bigl(\frac{7}{\,8\,}\Bigr)^{\!4}=\frac{2401}{\,4096\,} <\frac{3072}{\,4096\,}=\frac{3}{\,4\,}\,より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} Q_4=\frac{7}{\,8\,}<\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)\hspace*{-3pt} \raisebox{10pt}{\small$\frac{1}{\,4\,}$}=\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)\hspace* {-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{\,4-3\,}{4}$}, \\[2mm] \quad\, \Bigl(\frac{13}{\,16\,}\Bigr)^{\!2}=\frac{169}{\,256\,} <\frac{192}{\,256\,}=\frac{3}{\,4\,}\,より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} Q_4=\frac{13}{\,16\,}<\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)\hspace* {-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{1}{\,2\,}$}=\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr) \hspace*{-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{\,5-3\,}{4}$}, \\[2mm] \quad さらに,\\[.5mm] \hspace*{6zw} Q_6=\frac{3}{\,4\,}<\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr) \hspace*{-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{\,6-3\,}{4}$},\ \ Q_7=\frac{11}{\,16\,}<\frac{12}{\,16\,}=\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr) \hspace*{-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{\,7-3\,}{4}$} \\[2mm] \quad であるから,\ \ n=4,\ 5,\ 6,\ 7のとき\,\raisebox{.5pt}{$(*)$}\,は 成り立つ。\\ \qquad\, n=k,\ \,k+1,\ \,k+2,\ \,k+3のとき\,\raisebox{.5pt}{$(*)$}\,が成り立つ とすれば,\ \ \raisebox{.5pt}{(3)}より \\[1.5mm]\makebox[88pt][r] {$Q_{k+4}$}=Q_{k+3}-\frac{1}{\,16\,}Q_k \\[1.5mm]\hspace*{88pt} =Q_{k+2}-\frac{1}{\,16\,}Q_{k-1}-\frac{1}{\,16\,}Q_k \\[1.5mm] \hspace*{88pt} =Q_{k+1}-\frac{1}{\,16\,}Q_{k-2}-\frac{1}{\,16\,}Q_{k-1} -\frac{1}{\,16\,}Q_k \\[1.5mm] \hspace*{88pt} =Q_k-\frac{1}{\,16\,}Q_{k-3}-\frac{1}{\,16\,}Q_{k-2} -\frac{1}{\,16\,}Q_{k-1}-\frac{1}{\,16\,}Q_k \\[2mm] \quad\, Q_{k-3}\geqq Q_{k-2}\geqq Q_{k-1}\geqq Q_k\,より \\[1.5mm] \makebox[251pt][r]{$Q_{k+4}\leqq Q_k-\dfrac{1}{\,16\,}(Q_k+Q_k+Q_k+Q_k)$} =\frac{\,3\,}{4}Q_k \\[1mm]\hspace*{251pt} \leqq \frac{\,3\,}{4}\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)\hspace*{-3pt} \raisebox{10pt}{\small$\frac{\,k-3\,}{4}$}=\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr) \hspace*{-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{\,k+4-3\,}{4}$} \\[2mm] \quad となって,\ \ n=k+4のときも\,\raisebox{.5pt}{$(*)$}\,が成り立つ。\\[1mm] \qquad 以上より,\ \ 4以上のすべての自然数nに対してQ_n<\Bigl(\frac{3}{\,4\,} \Bigr)\hspace*{-3pt}\raisebox{10pt}{\small$\frac{\,n-3\,}{4}$}が成り立つ。$ \\ [2mm]\hfill \paalen{証明おわり} \newpage\hfill 医学部保健衛生学科\Ten 歯学部 \\[1mm]\fbox{\hspace* {-.5zw}\parbox{136mm}{\tabtopsp{-4mm}\quad ある硬貨を投げたとき,表と裏がそれぞれ確率$ \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[15pt][c]{2}}\hspace*{1pt}で出るとする。 この硬貨を\\[1.5mm]\quad 投げる操作を繰り返し行い,\ \ 3回続けて表が出たとき この操作を終了する。自然\\[1.5mm]\quad 数nに対し,\\[1.5mm]\hspace*{3zw} 操作がちょうどn回目で終了となる確率をP_{\hspace*{1pt}n} \\[1.5mm] \hspace*{3zw} 操作がn回以上繰り返される確率をQ_{\hspace*{1pt}n} \\[1.5mm] \quad とする。このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 1})} P_{\hspace*{1pt}3},\ P_{\hspace*{1pt}4},\ P_{\hspace*{1pt}5},\ P_{\hspace*{1pt}6},\ P_{\hspace*{1pt}7}\,をそれぞれ求めよ。\\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 2})} Q_{\hspace*{1pt}6},\ \, Q_{\hspace*{1pt}7}\,をそれぞれ求めよ。\\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 3})} n\geqq 5のとき,\ \ Q_{\hspace*{1pt}n}-Q_{\hspace*{1pt}n-1}\,をQ_{\hspace*{1pt}n-4}\,を用いて表せ。 \\[8mm]\makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{\large 4})} 任意の自然数nに対して Q_{\hspace*{1pt}4n+2} \leqq \Bigl(\!\dfrac{\raisebox{-.5mm}{3}}{\makebox[15pt] [c]{4}}\!\Bigr)\hspace*{-1pt}\raisebox{4pt}{${}^n$}\,が成り立つことを示せ。$ \\}\ } $\displaystyle \\[4mm]% (1)\ \ ちょうど3回で終了するのは,\ \ 3回続けて表が出る場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_3=\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}=\frac{1}{\,8\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど4回で終了するのは,裏表表表と出る場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_4=\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど5回で終了するのは,\ \ 2回目に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る \\ \quad 場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_5=\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど6回で終了するのは,\ \ 3回目に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る \\ \quad 場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_6=\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad ちょうど7回で終了するのは,はじめの3回で少なくとも1回裏が出て,\ \ 4回目 \\ \quad に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る場合であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} P_7=\biggl\{1-\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}\biggr\}\times \frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}=\frac{7}{\,128\,} \ \ \ (答) \\[5mm] (2)\ \ 操作が6回以上繰り返されるのは,\ \ 5回までに終了しない場合であるから \\ \makebox[7.3zw][r]{$Q_6$}=1-P_3-P_4-P_5 \\[1.5mm] \hspace*{7.3zw} =1-\frac{1}{\,8\,}-\frac{1}{\,16\,}-\frac{1}{\,16\,} =\frac{3}{\,4\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad 同様に考えて,\\ \makebox[7.3zw][r]{$Q_7$}=1-P_3-P_4-P_5-P_6 \\ \hspace*{7.3zw} =Q_6-P_6 \\[1.5mm]\hspace*{7.3zw} =\frac{3}{\,4\,}-\frac{1}{\,16\,}=\frac{11}{\,16\,} \ \ \ (答) \\[7mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}の考察を参考にすると,\\ \hspace*{6zw} Q_{n-1}-Q_n=P_{n-1} \\[.5mm] \quad \raisebox{.5pt}{(1)}の考察より,ちょうどn-1回で終了するのは,\ \ n-5回目 で終了しないで,\\ \quad\, n-4回目に裏が出て,そのあと3回続けて表が出る場合 であるから \\[1.5mm]\hspace*{6zw} P_{n-1}=Q_{n-4}\times\frac{1}{\,2\,}\times\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{1}{\,16\,}Q_{n-4} \\[2mm] \quad 以上の2式より \\[1mm] \hspace*{6zw} Q_n-Q_{n-1}=-\frac{1}{\,16\,}Q_{n-4} \ \ \ (答) \\[7mm] (4)\ \ 2以上の自然数nに対して,\ \ \raisebox{.5pt}{(3)}より \\[1.5mm]\makebox[8.8zw][r] {$Q_{4n+2}$}=Q_{4n+1}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-2} \\[1.5mm]\hspace*{8.8zw} =Q_{4n}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-3}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-2} \\[1.5mm] \hspace*{8.8zw} =Q_{4n-1}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-4}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-3} -\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-2} \\[1.5mm] \hspace*{8.8zw} =Q_{4n-2}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-5}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-4} -\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-3}-\frac{1}{\,16\,}Q_{4n-2} \\[2mm] \quad\, Q_{4n-5}\geqq Q_{4n-4}\geqq Q_{4n-3}\geqq Q_{4n-2}\,より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} Q_{4n+2}\leqq Q_{4n-2}-\frac{1}{\,16\,}(Q_{4n-2}+Q_{4n-2} +Q_{4n-2}+Q_{4n-2})=\frac{3}{\,4\,}Q_{4n-2} \hspace*{1zw}\\[2mm] \quad 等比数列の一般項を求めるのと同様にして,\\[2mm] \hspace*{6zw} Q_{4n+2}\leqq Q_6\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)^{\!n-1} \\[2mm] \quad \raisebox{.5pt}{(2)}よりQ_6=\frac{3}{\,4\,}\,であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} Q_{4n+2}\leqq \frac{3}{\,4\,}\Bigl(\frac{3}{\,4\,} \Bigr)^{\!n-1}=\Bigl(\frac{3}{\,4\,}\Bigr)^{\!n} \\[2mm] $ \hfill \paalen{証明おわり} \end{document}