慶應義塾大学 医学部 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 医学部
年度 2011年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 式と証明 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=148mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \oddsidemargin=4mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\Ten{\begin{picture}(8,8) \put(4, 3.5){\circle*{2}} \end{picture}} \def\kobox#1{\raisebox{.5pt}{\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.2mm\fbox{$#1$}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1.5zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.8zw}\parbox{146mm} {\quad\textgt{以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。} \fboxsep=.8mm \\[5mm]% \quad 平面内に同一直線上にない3点A,\ \ B,\ \ Cをとり,AB\,\raisebox{.5pt} {=}\,3,\ \,BC\,\raisebox{.5pt}{=}\,1,\ \,AC\,\raisebox{.5pt}{=}\,$t$とする。\\ [1.5mm]また直線ACに関してBの反対側に点Dをとり,CD\,\raisebox{.5pt}{=}\,2と する。\\[5mm]% \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{1})}$\triangle$ABCの外接円の半径は\ % \kobox{\paalen{あ}}\ であり,$t$\,\raisebox{.5pt}{=}\,\kobox{\paalen{い}}\ の とき\ \kobox{\paalen{あ}}\ は\\[1.5mm]\hspace*{3zw}最\hspace*{-.5pt}小\hspace* {-.5pt}と\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}る。\hspace*{-1.5pt}ま\hspace*{-.5pt}% た,\hspace*{-2pt}四\hspace*{-.5pt}角\hspace*{-.5pt}形ABCDが\hspace*{-.5pt}円% \hspace*{-.5pt}に\hspace*{-.5pt}内\hspace*{-.5pt}接\hspace*{-.5pt}す\hspace* {-.5pt}る\hspace*{-.5pt}と\hspace*{-.5pt}き,\hspace*{-1pt}AD\,\raisebox{.5pt} {=}\,\kobox{\paalen{う}}\,で\hspace*{-.2pt}あ\hspace*{-.2pt}る。\\[5mm]% \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{2})}$\triangle$ABCの内接円の半径は\ % \kobox{\paalen{え}}\ である。\\[5mm]% \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{3})}四\hspace*{-.3pt}角\hspace*{-.3pt}形% ABCDの\hspace*{-.2pt}各\hspace*{-.2pt}辺\hspace*{-.3pt}が\hspace*{-.3pt}ひ% \hspace*{-.3pt}と\hspace*{-.3pt}つ\hspace*{-.3pt}の\hspace*{-.3pt}共\hspace* {-.3pt}通\hspace*{-.3pt}の\hspace*{-.3pt}円\hspace*{-.3pt}に接しているときAD\,% \raisebox{.5pt}{=}\,\kobox{\paalen{う}}\hspace*{2pt}で\\[1.5mm]\hspace* {3zw}あり,その円の半径は\ \kobox{\paalen{か}}\hspace*{3pt}である。$ t$\,\raisebox{.5pt}{=}\,\kobox{\paalen{き}}\hspace*{2.4pt}のとき\hspace* {2.4pt}\kobox{\paalen{か}}\hspace*{2.4pt}は最大と\\[1.5mm]\hspace*{3zw}なる。} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \triangle\mbox{ABC}において余弦定理より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \cos B=\frac{\,3^2+1^2-t^{\hspace*{.5pt}2}\,}{2\ten 3\ten 1} =\frac{\,10-t^{\hspace*{.5pt}2}\,}{6} \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \sin B=\sqrt{\,1-\cos^2 B\,}=\frac{\sqrt{\,36-(10-t^{\hspace*{.5pt}2})^2\,} \,}{6}=\frac{\sqrt{\hspace*{1pt}-t^{\hspace*{.5pt}4}+20\hspace*{1pt} t^{\hspace*{.5pt}2}-64\,}\,}{6} \\[2mm] \quad 正弦定理より,外接円の半径Rは \\[1.2mm] \hspace*{6zw} R=\dfrac{\mbox{AC}}{\,2\sin B\,}=\underset{(あ)} {\ansbox{\dfrac{3t}{\sqrt{\hspace*{1pt}-t^{\hspace*{.5pt}4}+20\hspace*{1pt} t^{\hspace*{.5pt}2}-64\,}\,}}}=\frac{3}{\sqrt{\,-t^{\hspace*{.5pt}2}+20 -\dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{64}\,}{t^{\hspace*{.5pt}2}}\,}} \\[2mm] \quad 相加\Ten 相乗平均の不等式より \\[1mm]\hspace*{6zw} t^{\hspace*{.5pt}2}+\frac{\,64\,}{t^{\hspace*{.5pt}2}}\geqq 2\sqrt{\, t^{\hspace*{.5pt}2}\ten\frac{\,64\,}{t^{\hspace*{.5pt}2}}\,}=16 \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 20-\Bigl(t^{\hspace*{.5pt}2}+\frac{\,64\,} {t^{\hspace*{.5pt}2}}\Bigr)\leqq 20-16=4 \\[1.5mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ R\geqq\frac{3}{\sqrt{\,4\,}\,}=\frac{\,3\,}{2} \\[2mm] \quad ここで,不等式の等号は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} t^{\hspace*{.5pt}2}=\frac{\,64\,}{t^{\hspace*{.5pt}2}}\ かつ \,\ 3-1<t<3+1, \,\ すなわち \,\ t=\underset{(い)}{\ansbox{2\sqrt{\,2\,}}} \\[1mm] \quad のとき成り立つから,外接円の半径Rの最小値は\,\frac{\,3\,}{2}\,である。\\ [2mm]\qquad 四角形\mbox{ABCD}が円に内接するとき,円周角の性質より \\ \hspace*{6zw} \mathrm{\angle\hspace*{1pt}ABC+\angle\hspace*{1pt}ADC} =180^\circ \\[.5mm] \quad が成り立つから,補角の公式より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \mathrm{\cos\angle\hspace*{1pt}ADC =-\cos\angle\hspace*{1pt}ABC}=\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-10\,}{6} \\[2mm] \quad\,x=\mathrm{ADとおいて,\ \ \triangle ACD}に余弦定理を適用すると\\[1.5mm] \hspace*{6zw} t^{\hspace*{.5pt}2}=x^2+2^2-2\ten x\ten 2\ten \frac{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-10\,}{6} \\[1.5mm]\hspace*{6zw} x^2-\frac{\,2\,}{3}(t^{\hspace*{.5pt}2}-10)x+4-t^{\hspace*{.5pt}2}=0 \\ [1.5mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ x=\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-10\,}{3} \pm\sqrt{\biggl(\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-10\,}{3}\biggr)^{\!2}-(4- t^{\hspace*{.5pt}2})\,}=\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-10\pm\sqrt{\, t^{\hspace*{.5pt}4}-11\hspace*{1pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+64\,}\,}{3} \\[2mm] \quad\, 2<t<4より (\raisebox{-.8pt}{2解の積})=4-t^{\hspace*{.5pt}2}<0である から,\ \ 2解は異符号であり,\ \ x=\mbox{AD}>0 \\ \quad より \\[1mm] \hspace*{6zw} \mbox{AD}=\ansbox{\dfrac{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-10+\sqrt{\, t^{\hspace*{.5pt}4}-11\hspace*{1pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+64\,}\,}{3}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(う)} \\[4mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ \triangle\mbox{ABC}の内接円の半径をhとし,\ \ \triangle\mbox{ABC}の面積を2通りに表すと \\[1mm] \hspace*{6zw} \frac{1}{\,2\,}\ten(t+3+1)\ten h=\frac{1}{\,2\,}\ten 3\ten 1 \ten\frac{\sqrt{\hspace*{1pt}-t^{\hspace*{.5pt}4}+20\hspace*{1pt} t^{\hspace*{.5pt}2}-64\,}\,}{6} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ h=\ansbox{\dfrac{\sqrt{\hspace*{1pt} -t^{\hspace*{.5pt}4}+20\hspace*{1pt}t^{\hspace*{.5pt}2}-64\,}\,}{2(t+4)}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(え)} \\[4mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ 四角形\mbox{ABCD}が円に外接するとき,円の外部の点から 引いた接線の長さが等しく\\ \quad なることより \\ \hspace*{6zw} \mathrm{AD=AB+CD-BC}=3+2-1=\underset{(お)}{\ansbox{\ 4\ }} \\ \quad \raisebox{.5pt}{(1)}より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \sin B=\frac{\sqrt{\hspace*{1pt}-t^{\hspace*{.5pt}4} +20\hspace*{1pt}t^{\hspace*{.5pt}2}-64\,}\,}{6} \\[2mm] \quad 同様にして,\\[.5mm] \hspace*{6zw} \sin D=\sqrt{\,1-\biggl(\frac{\,2^2+4^2-t^{\hspace*{.5pt}2}\,} {2\ten 2\ten 4}\biggr)^{\!2}\,}=\frac{\sqrt{\hspace*{1pt} -t^{\hspace*{.5pt}4}+40\hspace*{1pt}t^{\hspace*{.5pt}2}-144\,}\,}{16} \\ [2mm]\quad 円の半径をrとし,四角形\mbox{ABCD}の面積を2通りに表して,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{1}{\,2\,}\ten(3+1+2+4)\ten r=\frac{1}{\,2\,}\ten 3\ten 1 \ten\sin B+\frac{1}{\,2\,}\ten 2\ten 4\ten\sin D \\[1.5mm]\hspace*{6zw} 10\hspace*{1pt}r=\frac{\sqrt{\hspace*{1pt}-(t^{\hspace*{.5pt}2}-4) (t^{\hspace*{.5pt}2}-16)\,}\,}{2}+\frac{\sqrt{\hspace*{1pt}-(t^{\hspace* {.5pt}2}-4)(t^{\hspace*{.5pt}2}-36)\,}\,}{2} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ r=\ansbox{\dfrac{\sqrt{\,t^{\hspace*{.5pt}2}-4 \,}\,\bigl(\sqrt{\,16-t^{\hspace*{.5pt}2}\,}+\sqrt{\,36-t^{\hspace*{.5pt}2} \,}\,\bigr)\,}{20}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(か)} \\[2mm] \quad\, t^{\hspace*{.5pt}2}-4=u\ (0<u<12)とおくと \\[1mm]\hspace*{6zw} r=\frac{\sqrt{\,u\,}\bigl(\sqrt{\,12-u\,}+\sqrt{\,32-u\,}\,\bigr)\,}{20} \\ [2mm]\makebox[7.5zw][r]{$\dfrac{\,dr\,}{du}$}=\frac{1}{\,20\,}\biggl\{ \frac{\sqrt{\,12-u\,}+\sqrt{\,32-u\,}\,}{2\sqrt{\,u\,}\,} +\sqrt{\,u\,}\Bigl(\frac{-1}{\,2\sqrt{\,12-u\,}\,} +\frac{-1}{\,2\sqrt{\,32-u\,}\,}\Bigr)\!\biggr\} \\[1.5mm]\hspace*{7.5zw} =\frac{1}{\,40\sqrt{\,u\,}\,}\Bigl(\sqrt{\,12-u\,}-\frac{u}{\sqrt{\,12-u\,} \,}+\sqrt{\,32-u\,}-\frac{u}{\sqrt{\,32-u\,}\,}\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{7.5zw} =\frac{1}{\,20\sqrt{\,u\,}\,}\biggl(\frac{6-u} {\sqrt{\,12-u\,}\,}+\frac{16-u}{\sqrt{\,32-u\,}\,}\biggr) \\[2mm] \quad\, 0<u\leqq 6のとき\,\frac{\,dr\,}{du}>0であり,\ \ 6<u<12において \\[1mm] \makebox[99pt][r]{$\dfrac{\,dr\,}{du}>0$}\iff \frac{16-u}{\sqrt{\,32-u\,}\,} >\frac{u-6}{\sqrt{\,12-u\,}\,} \\[1.5mm] \hspace*{99pt} \iff (16-u)\sqrt{\,12-u\,}>(u-6)\sqrt{\,32-u\,} \\[.5mm] \hspace*{99pt} \iff (16-u)^2(12-u)>(u-6)^2(32-u) \\ \hspace*{99pt} \iff (u^2-32u+256)(12-u)>(u^2-12u+36)(32-u) \\ \hspace*{99pt} \iff 256(12-u)>36(32-u) \\ \hspace*{99pt} \iff 64(12-u)>9(32-u) \\[1.5mm] \hspace*{99pt} \iff u<\frac{\,96\,}{11} \\[2mm] \quad であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} u & (0) & & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{96}}{\,11\,} & & (12) \\[2.5mm] \hline\tabtopsp{2.5mm} \dfrac{\,dr\,}{du} & & + & 0 & - & \\[2.5mm] \hline r & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\[1.5mm] \quad よって,四角形\mbox{ABCD}の内接円の半径rは \\[1.5mm]\hspace*{6zw} u=t^{\hspace*{.5pt}2}-4=\frac{\,96\,}{11}\,のとき極大かつ最大 \\[2mm] \quad であり,このとき \\[.5mm] \hspace*{6zw} t=\sqrt{\,4+\frac{\,96\,}{11}\,} =\underset{(き)}{\ansbox{\dfrac{\,2\sqrt{\,385\,}\,}{11}}} $ \end{document}