東京工業大学 後期 2011年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 後期
年度 2011年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.8zw}\parbox{136mm}{\quad$正\hspace*{2.5pt}の\hspace*{2.5pt}実\hspace* {2.5pt}数tに\hspace*{2.5pt}対\hspace*{2.5pt}し\hspace*{2.5pt}て,座\hspace*{2.5pt}標 \hspace*{2.5pt}空\hspace*{2.5pt}間\hspace*{2.5pt}に\hspace*{2.5pt}お\hspace* {2.5pt}け\hspace*{2.5pt}る4点O\,(\,0,\,0,\,0\,)\,,\ \,A\,(\,t,\,0,\,0\,)\,, \\ [1mm]B\hspace*{.5pt}(\,0,\hspace*{1pt}1,\hspace*{1pt}0\,)\,,\ \,C\hspace* {.5pt}(\,0,\hspace*{1pt}0,\hspace*{1pt}1\,)を考える.このとき,次の問に答えよ. \\[8mm](\makebox[1.5mm][c]{1})\,\ \ 四面体OABCのすべての面に内接する球Pの 半径rをtを用いて表せ.\\[8mm] (\makebox[1.5mm][c]{2})\,\ \ tが動くとき,球Pの体積を四面体OABCの体積で 割った値の最大値を求め\\[1mm]\quad よ.$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ AB=AC=\sqrt{\,t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,},\ \,BC=\sqrt{\,2\,}\ であり,\ \ BCの中点をMとすると,\\[1mm]\hspace*{6zw} AM=\sqrt{AB^2-BM^2\,}=\sqrt{\,t^{\hspace*{.5pt}2}+1-\frac{1}{\,2\,}} =\sqrt{\,t^{\hspace*{.5pt}2}+\frac{1}{\,2\,}} \\[2mm] \quad \triangle ABCの面積S_1\,は \\[.5mm] \hspace*{6zw} S_1=\frac{1}{\,2\,}\ten BC\ten AM=\frac{1}{\,2\,}\ten \sqrt{\,2\,}\ten\sqrt{\,t^{\hspace*{.5pt}2}+\frac{1}{\,2\,}} =\frac{1}{\,2\,}\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,} \\[2mm] \quad \triangle OABの面積S_2,\ \,\triangle OBCの面積S_3\,および\triangle OCAの 面積S_4\,は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S_2=\frac{1}{\,2\,}\ten OA\ten OB=\frac{1}{\,2\,}t \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S_3=\frac{1}{\,2\,}\ten OB\ten OC=\frac{1}{\,2\,} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S_4=\frac{1}{\,2\,}\ten OC\ten OA=\frac{1}{\,2\,}t \\[2mm] \quad 四面体OABCの体積Vを2通りに表すと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} V=\frac{1}{\,3\,}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\ten OA\ten OB\Bigr)\! \ten OC=\frac{1}{\,3\,}S_1\hspace*{1pt}r+\frac{1}{\,3\,}S_2\hspace*{1pt}r +\frac{1}{\,3\,}S_3\hspace*{1pt}r+\frac{1}{\,3\,}S_4\hspace*{1pt}r \\[2mm] \hspace*{6zw} t\ten 1\ten 1=(\raisebox{-.5pt}{$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt} t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}+t+1+t\makebox[7pt][c]{)}r \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ r=\frac{t}{\,2\hspace*{.5pt}t+1 +\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}\,} \ \ \ (答) \\[4mm] (2)\ \ 球Pの体積を四面体OABCの体積Vで割った値をF(t)とすると \\[1.5mm] \hspace*{6zw} F(t)=\frac{\raisebox{2mm}{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{4}}{\,3\,} \pi r^3$}}{\,\tabtopsp{-.3mm}\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,6\,}\ten t\ten 1 \ten 1\,}=8\pi\ten\frac{t^{\hspace*{.5pt}2}}{\,\bigl(2\hspace*{.5pt}t+1 +\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}\,\bigr)^{\!3}\,} \\[3mm] \hspace*{5zw}\frac{\,F'(t)\,}{8\pi}\bigl(2\hspace*{.5pt}t+1+\raisebox{-.5pt} {$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}\,\bigr)^{\!6} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} =2\hspace*{.5pt}t\,\bigl(2\hspace*{.5pt}t+1+\raisebox{-.5pt} {$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}\,\bigr)^{\!3} \\[-.5mm] \hspace*{10zw} -t^{\hspace*{.5pt}2}\ten 3\hspace*{1pt}\bigl(2\hspace*{.5pt}t +1+\raisebox{-.5pt}{$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}\, \bigr)^{\!2}\biggl(2+\frac{1}{\,2\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2} +1\,}\,}\ten 4\hspace*{.5pt}t\biggr) \\[1.5mm] \hspace*{5zw} =2\hspace*{.5pt}t\hspace*{1pt}\bigl(2\hspace*{.5pt}t+1 +\raisebox{-.5pt}{$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}\, \bigr)^{\!2}\,\biggl\{2\hspace*{.5pt}t+1+\raisebox{-.5pt}{$\sqrt{\,2\hspace* {.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}-3\hspace*{.5pt}t\biggl(1+\frac{t}{\sqrt{\, 2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}\,}\biggr)\!\biggr\} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} =2\hspace*{.5pt}t\hspace*{1pt}\bigl(2\hspace*{.5pt}t+1 +\raisebox{-.5pt}{$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}\, \bigr)^{\!2}\biggl(1-t+\frac{\, 2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1-3\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}} {\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}\,}\biggr) \\[1.5mm] \hspace*{5zw} =2\hspace*{.5pt}t\hspace*{1pt}\bigl(2\hspace*{.5pt}t+1 +\raisebox{-.5pt}{$\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}$}\, \bigr)^{\!2}\hspace*{1pt}(1-t)\biggl(1+\frac{t+1} {\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}\,}\!\biggr) \\[2mm] \quad\, t>0において,\ \ F'(t)の符号変化は1-tと同じであるから,\ \ F(t)の増減は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline t & (0) & & 1 & &\! (+\infty) \\ \hline F'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline F(t) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\[1.5mm] \quad 求める最大値は \\[1mm]\makebox[8.1zw][r] {$F(1)$}=\frac{8\pi}{\,\bigl(3+\sqrt{\,3\,}\,\bigr)^{\!3}\,} \\[.5mm] \hspace*{8.1zw} =\frac{8\pi\bigl(3-\sqrt{\,3\,}\,\bigr)^{\!3}}{\,\bigl( 3+\sqrt{\,3\,}\,\bigr)^{\!3}\bigl(3-\sqrt{\,3\,}\,\bigr)^{\!3}\,} \\[1.5mm] \hspace*{8.1zw} =\frac{\,8\pi\hspace*{1pt}(27-3\ten 9\sqrt{\,3\,} +3\ten 3\ten 3-3\sqrt{\,3\,}\,)\,}{(9-3)^3} \\[1.5mm] \hspace*{8.1zw} =\frac{\,18-10\sqrt{\,3\,}\,}{9}\pi \ \ \ (答) $ \end{document}