慶應義塾大学 理工学部 2011年度 問5

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2011年度
問No 問5
学部 理工学部
カテゴリ 三角関数 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=155mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \oddsidemargin=0mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\abs#1{\raisebox{1pt}{$\big|$}#1\raisebox{1pt}{$\big|$}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.5mm\fbox{$#1$}}} \def\kobox#1{{\fboxsep=.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{.9zw}\parbox{144mm} {\hspace*{-.7zw}座標空間で次の8つの点 \\[4mm]\hspace*{5.4zw}% A$\,(-1,\ 1,\ 2)$,\ \ B$\,(-1,\ -1,\ 2)$,\ \ C$\,(1,\ -1,\ 2)$,\ \ D$\, (1,\ 1,\ 2)$ \\[1.5mm]\hspace*{5.4zw}E$\,(-1,\ 1,\ 0)$,\ \ F$\,(-1,\ -1,\ 0) $,\ \ G$\,(1,\ -1,\ 0)$,\ \ H$\,(1,\ 1,\ 0)$ \\[4mm]% \hspace*{-1.7zw}を頂点とする1辺の長さ2の立方体ABCD\begin{picture}(5,10) \path(0.5, 4)(4.5, 4) \end{picture}EFGHを考える。\hspace*{-1pt}いま,\hspace* {-1pt}点P$(x,\ y,\ 0)\!$を正方形\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw}\hspace*{1pt}EFGH内の 点\paalen{辺上も含む,ただしP\,$\neqq$\,G}とし,点A\hspace*{1pt}と点G\hspace* {1pt}を通る直線を\makebox[1zw][c]{$\ell$}とする。\\ \hspace*{12.5zw}\begin{picture}(150,130) \path(-25,-17.5)(70,49) \path(78, 54.6)(145, 101.5) \put(135,102){$\ell$} \allinethickness{.8pt}\path(0,66)(0,0)(80,-16)(80,50)(0,66) \path(80,-16)(120,18)(120,84)(80,50) \path(0,66)(40,99)(120,84) \put(113,91){A} \put(36,104){B} \put(-11,67){C} \put(84,41){D} \put(125,13){E} \put(29,33){F} \put(-12,1){G} \put(76,-27){H} \put(60,9){\circle*{2}} \put(50.5, -2.5){O} \put(95,8){\circle*{2}} \put(100,10){P} \allinethickness{.2pt} \dashline[10]{3}(0,0)(40,33)(120,18) \dashline[10]{3}(40,33)(40,99) \end{picture} \\[17mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,点Qを直線\makebox[1zw][c]{$\ell$}上 の点で\ $\Vec{AQ}=t\,\Vec{AG}\ \paalen{\hspace*{1pt}tは実数}\,を 満たすものとする。\ \ \Vec{PQ}\,と\,\Vec{AG}\,が\\[1.5mm] 直交するときtをxとyで表すとt=\kobox{\paalen{マ}}\ となる。$ \\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,点Pから直線\makebox[1zw][c] {$\ell$}に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあることを証明しなさい。\\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,点Pが原点O\,$(\hspace*{.5pt}0,\ 0,\ 0\hspace*{.5pt})を中心とするxy$平面上の半径1の円周上を動くとし,Pの\\ [1.5mm]座標を$(\hspace*{1pt}\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0\hspace*{1pt})\ (\hspace*{1pt}0\leqq\theta\,\mbox{\Large$<$}\,2\pi\hspace*{1pt})$と\hspace* {.4pt}書\hspace*{.4pt}く\hspace*{.4pt}こ\hspace*{.4pt}と\hspace*{.4pt}に% \hspace*{.4pt}す\hspace*{.4pt}る。こ\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}と\hspace* {.5pt}き,三\hspace*{.5pt}角\hspace*{.5pt}形APGの\\[1.5mm]面積の最大値と 最小値,およびそれらを与える\makebox[1zw][c]{$\theta$}の値を求めなさい。 求める過程も書き\\[1.5mm]なさい。} \end{FRAME} \quad $ \\[2mm] (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \Vec{AG}=\Vec{OG}-\Vec{OA}=(1,\ -1,\ 0)-(-1,\ 1,\ 2) =(2,\ -2,\ -2) \\[.5mm]\quad\, \Vec{AQ}=t\,\Vec{AG}\,より \\[.8mm]\hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\Vec{OA}+t\hspace*{1pt}\Vec{AG} =(-1,\ 1,\ 2)+t(2,\ -2,\ -2) \\[.3mm] \quad と表される。\\[1mm] \hspace*{6zw} \Vec{PQ}=\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}-\Vec{OP} =\Vec{OA}-\Vec{OP}+t\hspace*{1pt}\Vec{AG} \\ \quad と\,\Vec{AG}\,が直交するとき\\[.5mm] \hspace*{6zw} \Vec{AG}\ten\Vec{PQ}=\Vec{AG}\ten\bigl(\Vec{OA}-\Vec{OP}\bigr) +t\hspace*{1pt}\abs{\Vec{AG}}^2=0 \\ \hspace*{6zw} 2(-1-x)-2(1-y)-2\times 2+t\hspace*{1pt}\bigl\{2^2+(-2)^2+(-2)^2\bigr\}=0 \\ [1mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ t=\ansbox{\dfrac{\,x-y+4\,}{6}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(マ)} \\[7mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ 点\mbox{P}(x,\ y,\ 0)は点\mbox{Gを除く正方形EFGH}の周 および内部にあるから,\\ \hspace*{6zw} -1\leqq x\leqq 1\,\ かつ\ -1\leqq y\leqq 1\,\ かつ\,\ (x,\ y)\neq(1,\ -1) \\ \hspace*{6zw} -2\leqq x-y\leqq 2 \,\ かつ \,\ (x,\ y)\neq(1,\ -1) \\ \hspace*{5.5zw} \therefore\,\ -2\leqq x-y<2 \\[1mm] \quad これを同値変形して \displaystyle \\[.5mm] \hspace*{6zw} 2\leqq x-y+4<6 \hspace*{3zw} \therefore\,\ \frac{1}{\,3\,} \leqq \frac{\,x-y+4\,}{6}<1 \\[2mm] \quad \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{1})}より,点\mbox{Pから 直線\makebox[1zw][c]{$\ell$}に下ろした垂線の足Q}は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \Vec{AQ}=t\hspace*{1pt}\Vec{AG}\ \ \Bigl(\frac{1}{\,3\,}\leqq t<1\Bigr) \\ [2mm]\quad と表されるから,垂線の足は点\mbox{AとG}の間にある。\hfill \paalen{おわり} \\[7mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ \mbox{P}(\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0)\ (0\leqq\theta<2\pi)のとき \\[.5mm]\hspace*{6zw} \Vec{AP}=(\cos\theta+1,\ \,\sin\theta-1,\ -2) \\[.5mm]\makebox[8.6zw][r] {$\abs{\Vec{AP}}^2$}=(\cos\theta+1)^2+(\sin\theta-1)^2+(-2)^2 \\ \hspace*{8.6zw} =\cos^2 \theta+\sin^2 \theta+2(\cos\theta-\sin\theta)+6 \\ \hspace*{8.6zw} =2(\cos\theta-\sin\theta)+7 \\[.5mm] \hspace*{6zw} \Vec{AG}\ten\Vec{AP}=2(\cos\theta+1)-2(\sin\theta-1)+(-2)(-2) =2(\cos\theta-\sin\theta) \\[.5mm] \quad\, u=\cos\theta-\sin\theta\ とおくと,\ \ \triangle\mbox{APG}の面積Sは \\ [1mm]\makebox[6.7zw][r]{$S$}=\frac{1}{\,2\,}\sqrt{\,\abs{\Vec{AG}}^2 \abs{\Vec{AP}}^2-\bigl(\Vec{AG}\ten\Vec{AP}\bigr)^2\,} \\[1.5mm] \hspace*{6.7zw} =\frac{1}{\,2\,}\sqrt{\,12(2u+7)-(2u)^2\,} \\[1.5mm] \hspace*{6.7zw} =\frac{1}{\,2\,}\ten 2\sqrt{\,3(2u+7)-u^2\,} \\[1.2mm] \hspace*{6.7zw} =\sqrt{\,-u^2+6u+21\,} \\[.5mm]\hspace*{6.7zw} =\sqrt{\,-(u-3)^2+30\,} \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw}\\[1.5mm] \quad 加法定理より\\ \makebox[6.6zw][r]{$u$}=\cos\theta-\sin\theta \\[1.5mm] \hspace*{6.6zw} =\sqrt{\,2\,}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}\cos\theta -\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}\sin\theta\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{6.6zw} =\sqrt{\,2\,}\Bigl(\cos\theta\cos\frac{\,\pi\,}{4} -\sin\theta\sin\frac{\,\pi\,}{4}\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{6.6zw} =\sqrt{\,2\,}\cos\Bigl(\theta+\frac{\,\pi\,}{4}\Bigr) \hfill \cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad と変形され,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,\pi\,}{4}\leqq\theta+\frac{\,\pi\,}{4}<2\pi+\frac{\pi} {\,4\,} \hfill\cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad より\\[-.5mm] \hspace*{6zw} -\sqrt{\,2\,}\leqq u\leqq \sqrt{\,2\,} \\ \quad の範囲をとり得るから,\ \ Sは\\ \hspace*{6zw} u=\sqrt{\,2\,}\,で最大,\ \ u=-\sqrt{\,2\,}\,で最小\\ \quad となる。\\ \quad(\makebox[2mm][c]{i})\ \ u=\sqrt{\,2\,}\,のとき \\[.3mm] \qquad \maru{1}より \\[-.3mm] \hspace*{6zw} S={\textstyle\sqrt{\,19+6\sqrt{\,2\,}\,}} \\[.5mm] \qquad \maru{2}より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \cos\Bigl(\theta+\frac{\,\pi\,}{4}\Bigr)=1 \\[2mm] \qquad \maru{3}より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \theta+\frac{\,\pi\,}{4}=2\pi \hspace*{3zw} \therefore\,\ \theta=\frac{\,7\,}{4}\pi \\[2mm] \quad(\makebox[2mm][c]{ii})\ \ u=-\sqrt{\,2\,}\,のとき \\[.3mm] \qquad \maru{1}より \\[-.3mm] \hspace*{6zw} S={\textstyle\sqrt{\,19-6\sqrt{\,2\,}\,}} \\[.5mm] \qquad \maru{2}より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \cos\Bigl(\theta+\frac{\,\pi\,}{4}\Bigr)=-1 \\[2mm] \qquad \maru{3}より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \theta+\frac{\,\pi\,}{4}=\pi \hspace*{3zw} \therefore\,\ \theta=\frac{\,3\,}{4}\pi \\[3mm] \quad 以上をまとめると,三角形\mbox{APG}の面積Sは \\[1.8mm]\hspace*{6zw} \left\{\!\begin{array}{l} \theta=\dfrac{\,7\,}{4}\pi\ のとき\ 最大値\, \sqrt{\,19+6\sqrt{\,2\,}\,} \\[3.5mm] \theta=\dfrac{\,3\,}{4}\pi\ のとき\ 最小値\,\sqrt{\,19-6\sqrt{\,2\,}\,} \end{array}\right.\ \ \ (答) \\[2.5mm] \quad をとる。$ \end{document}