慶應義塾大学 理工学部 2011年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2011年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 数列 ・ 積分法 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=153mm \textheight=212mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.5mm\fbox{$#1$}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.2zw}\parbox{146mm}{\hspace*{-.7zw}% (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,$a>0とする。定積分 \displaystyle \\[3mm] \hspace*{11zw} \int_0^{\,a} x^2\biggl(1-\frac{\,x\,}{a}\biggr) \raisebox{11pt}{\scriptsize$a$}\,dx \\[3mm] \quad の値は\ \kobox{\paalen{ア}}\ である。\\[8mm]% \hspace*{-.7zw}(\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,kを実数とする。座標平面上で, 点(x,\ y)を直線y=kxに関して対称移動した点を \\[1mm] \quad (x\hspace*{.5pt}',\ y\hspace*{.5pt}')とすると \\[2mm] \hspace*{10zw} \Biggl(\!\begin{array}{c} x\hspace*{.5pt}' \\[1mm] y\hspace*{.5pt}' \end{array}\!\Biggr)\!=\!\Biggl(\,\begin{array}{@{}cc@{}} \kobox{\paalen{イ}} & \kobox{\paalen{ウ}} \\[1mm] \kobox{\paalen{エ}} & \kobox{\paalen{オ}} \end{array}\,\Biggr)\!\Biggl(\!\begin{array}{c} x \\ [1mm] y \end{array}\!\Biggr) \\[2mm] \quad が成り立つ。\\[8mm] \hspace*{-.7zw}(\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,負\hspace*{-.5pt}で\hspace*{-.5pt}な \hspace*{-.5pt}い\hspace*{-.5pt}実\hspace*{-.5pt}数a_1^{},\ b_1^{},\ c_1^{} \hspace*{.5pt}でa_1^{}\hspace*{-1pt}\geqq\hspace*{-.5pt}b_1^{}\hspace*{-1pt} \geqq\hspace*{-.5pt}c_1^{}\hspace*{.5pt}を\hspace*{-.5pt}満\hspace*{-.5pt}た \hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}も\hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}が\hspace* {-.5pt}与\hspace*{-.5pt}え\hspace*{-.5pt}ら\hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}て \hspace*{-.5pt}い\hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}と\hspace*{-.5pt}き,\ \,数 \hspace*{-.5pt}列\{a_n\}, \\[1mm]\quad \{b_n\},\hspace*{3pt}\{c_n\}\,を\hspace* {-.3pt}次\hspace*{-.3pt}の\hspace*{-.3pt}よ\hspace*{-.3pt}う\hspace*{-.3pt}に \hspace*{-.3pt}定\hspace*{-.3pt}め\hspace*{-.3pt}る。\ \,a_n,\ b_n,\ c_n \hspace*{1pt}に\hspace*{-.3pt}対\hspace*{-.3pt}し\hspace*{-.3pt}てa_n\hspace* {-1pt}-b_n,\ a_n\hspace*{-1pt}-c_n,\ b_n\hspace*{-1pt}-c_n\hspace*{1pt}を \hspace*{-.3pt}大\hspace*{-.3pt}き\hspace*{-.3pt}さ\\[1mm]\quad の順に並べ, 大きい順にa_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}\hspace*{1pt}とする。たとえば\ a_1^{}\hspace* {-2pt}=\hspace*{-1pt}23,\ \,b_1^{}\hspace*{-2pt}=\hspace*{-1pt}14,\ \, c_1^{}\hspace*{-2pt}=\hspace*{-1pt}2と\\[1mm]\quad するとき,\ \,a_2^{}\hspace* {-1pt}=\hspace*{-.5pt}21,\ \,b_2^{}\hspace*{-1pt}=\hspace*{-.5pt}12,\ \,c_2^{} \hspace*{-1pt}=\hspace*{-.5pt}9であり,\ \,a_3^{}\hspace*{-1pt}=\hspace*{-.5pt} 12,\ \,b_3^{}\hspace*{-1pt}=\kobox{\paalen{カ}}\,,\ \,c_3^{}\hspace*{-1pt} =\kobox{\paalen{キ}}\,で\\[1mm]\quad ある。\\[1mm] \qquad 次に,\ \,a_1^{}\hspace*{-1pt}=\hspace*{-.5pt}10でa_2^{},\ b_2^{},\ c_2^{}\hspace*{1pt}はどれも0ではなく\,\dfrac{\,a_1^{}\,}{a_2^{}}=\dfrac{\, b_1^{}\,}{b_2^{}}=\dfrac{\,c_1^{}\,}{c_2^{}}\,が満たされていると\\ \quad する。このときa_n=\kobox{\paalen{ク}}\ である。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[2mm] \makebox[11zw][l]{(\makebox[1zw][c]{1})\ \,$\displaystyle \int_0^{\hspace*{1pt}a} x^2\Bigl(1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\hspace*{-.5pt}a}dx$} =\left[\,x^2\ten\frac{-a}{\,a+1\,}\Bigl(1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\!a+1}\, \right]_0^a-\int_0^{\hspace*{1pt}a} 2x\ten\frac{-a}{\,a+1\,}\Bigl(1-\frac{x} {\,a\,}\Bigr)^{\hspace*{-1pt}a+1}dx \\[2.4mm] \hspace*{11zw} =0+\frac{2a}{\,a+1\,}\!\int_0^{\hspace*{1pt}a} x\Bigl( 1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\hspace*{-1pt}a+1}dx \\[2mm] \hspace*{11zw} =\frac{2a}{\,a+1\,}\left[\,x\ten\frac{-a}{\,a+1\,}\Bigl( 1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\hspace*{-1pt}a+2}\,\right]_0^a \\[1.5mm] \hspace*{14zw} -\frac{2a}{\,a+1\,}\!\int_0^{\hspace*{1pt}a} 1\ten\frac{-a} {\,a+2\,}\Bigl(1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\hspace*{-1pt}a+2}dx \\[2mm] \hspace*{11zw} =0+\frac{2\hspace*{.5pt}a^2}{\,(a+1)(a+2)\,}\left[\,\frac{-a} {\,a+3\,}\Bigl(1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\hspace*{-1pt}a+3}\,\right]_0^a \\ [1.5mm]\hspace*{11zw} =\ansbox{\dfrac{2\hspace*{.5pt}a^3} {\,(a+1)(a+2)(a+3)\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ア)} \\[3mm] \quad\paalen{参考}\ \ x=atにより置換すると,\ \int_0^{\hspace*{1pt}a} x^2\Bigl(1-\frac{\,x\,}{a}\Bigr)^{\hspace*{-.5pt}a}dx=\int_0^{\hspace*{1pt}1} (a\hspace*{.5pt}t)^2\hspace*{1pt}(1-t)^a\ten a\hspace*{1pt}dt \\[7mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ 三角関数の公式より \\[1mm] \hspace*{6zw} \sin 2\theta=\frac{2\tan\theta}{\,1+\tan^2 \theta\,},\ \ \cos 2\theta=\frac{\,1-\tan^2 \theta\,}{1+\tan^2 \theta\,} \\[2mm] \quad\, k=\tan\theta\,とおくと,求める表現行列は \\[-1mm] \hspace*{196pt} \mbox{\scriptsize(イ)\hspace*{40pt}(ウ)} \\ \hspace*{6zw} \biggl(\begin{array}{@{}cc@{}} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\biggr)=\left(\!\begin{array}{cc} \ansbox{\dfrac{\,1-k^2}{\,1+k^2}} & \ansbox{\dfrac{2k^{\vphantom{2}}} {\,1+k^2}} \\[4mm] \ansbox{\dfrac{2k^{\vphantom{2}}}{\,1+k^2}} & \ansbox{\dfrac{\,k^2-1\,}{k^2+1}} \end{array}\!\right) \\ \hspace*{196pt} \mbox{\scriptsize(エ)\hspace*{40pt}(オ)} \\[5mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ a_2^{}=21,\ \,b_2^{}=12,\ \,c_2^{}=9のとき \\ \hspace*{6zw} 21-12=9,\ \ 21-9=12,\ \ 12-9=3 \\[.5mm] \quad より \\[-.5mm] \hspace*{6zw} a_3^{}=12,\ \ b_3^{}=\underset{(カ)}{\ansbox{\ 9\ }}\,,\ \ c_3^{}=\underset{(キ)}{\ansbox{\ 3\ }} \\[1mm] \quad\, a_1^{}=10>0,\ \,a_2^{}>0より,ある正の定数rを用いて \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{1}{\,r\,}=\frac{\,a_1^{}\,}{\raisebox{.5mm}{$a_2^{}$}} =\frac{\,b_1^{}\,}{b_2^{}}=\frac{\,c_1^{}\,}{\raisebox{.5mm}{$c_2^{}$}} \\ [2mm]\quad と表され,\\[-.5mm] \hspace*{6zw} a_2^{}=a_1^{}r,\ \ b_2^{}=b_1^{}r,\ \ c_2^{}=c_1^{}r \hfill \cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad\, a_1^{}\geqq b_1^{}\geqq c_1^{}\,より \\ \hspace*{6zw} a_1^{}-c_1^{}\geqq b_1^{}-c_1^{},\ \ a_1^{}-c_1^{}\geqq a_1^{}-b_1^{} \\ [.5mm]\quad であるから,\\ \makebox[7zw][r] {$a_2^{}$}=a_1^{}-c_1^{} \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}\\ \hspace*{7zw} =(a_1^{}-b_1^{})+(b_1^{}-c_1^{})=b_2^{}+c_2^{} \\[.5mm] \quad \maru{1}より \\[-.8mm] \hspace*{6zw} a_1^{}r=b_1^{}r+c_1^{}r \hspace*{3zw} \therefore\,\ a_1^{}=b_1^{}+c_1^{} \hfill\cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad \maru{1},\ \maru{2},\ \maru{3}を組み合わせて \\[-.3mm] \hspace*{6zw} a_2^{}=a_1^{}r=a_1^{}-c_1^{}=b_1^{} \hfill\cdots\cdots\ \maru{4} \hspace*{6zw}\\ \hspace*{6zw} c_2^{}=c_1^{}r=(a_1^{}-b_1^{})r=a_1^{}(1-r)r \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ c_1^{}=a_1^{}(1-r) \hfill\cdots\cdots\ \maru{5} \hspace*{6zw} \\[1mm]\quad\, a_1^{}\geqq b_1^{}\geqq c_1^{}\,より \\[1mm] \hspace*{6zw} 1\geqq r\geqq 1-r \hspace*{3zw} \therefore\,\ \frac{1}{\,2\,} \leqq r\leqq 1 \hfill\cdots\cdots\ \maru{6} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad \maru{4},\ \maru{5}より \\ \hspace*{6zw} \begin{array}{@{}l} a_1^{}-b_1^{}=a_1^{}(1-r), \\ b_1^{}-c_1^{}=a_1^{}r-a_1^{}(1-r)=a_1^{}(2r-1) \end{array} \hfill\cdots\cdots\ \maru{7} \hspace*{6zw}\\[1mm] \quad であり,一方がb_2^{},\ \,他方がc_2^{}\,である。また,\ \ \maru{1}より \\ \hspace*{6zw} b_2^{}=b_1^{}r=a_1^{}r^2,\ \ c_2^{}=c_1^{}r=a_1^{}r(1-r) \hfill\cdots\cdots\ \maru{8} \hspace*{6zw}\\[1mm] \quad ここで,\ \ b_2^{}=b_1^{}-c_1^{}\,であるとすると,\\ \hspace*{6zw} r^2=2r-1 \\[.3mm] \quad より \\[-.8mm] \hspace*{6zw} r^2-2r+1=(r-1)^2=0 \hspace*{3zw} \therefore\,\ r=1 \\[.5mm] \quad このとき,\\[-.8mm] \hspace*{6zw} c_2^{}=a_1^{}-b_1^{}=a_1^{}(1-r)=0 \\[.5mm] \quad となって矛盾する。よって,\\ \hspace*{6zw} b_2^{}=a_1^{}-b_1^{},\ \ c_2^{}=b_1^{}-c_1^{} \hfill \cdots\cdots\ \maru{9} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad \maru{7},\ \maru{8}より \\ \hspace*{6zw} r^2=1-r \,\ かつ \,\ r(1-r)=2r-1 \hspace*{3zw} \therefore\,\ r^2+r-1=0 \\ [.5mm]\quad \maru{6}を考え,\\[.8mm] \hspace*{8zw} r=\frac{\sqrt{\,5\,}-1\,}{2} \\[2mm] \quad\maru{4},\ \maru{8},\ \maru{9}\hspace*{1pt}により,\ \ a_1^{}\,をa_1^{}rに 置き換えても同じ議論が通用するから \\ \hspace*{6zw} a_3^{}=a_2^{}r,\ \ b_3^{}=b_2^{}r,\ \ c_3^{}=c_2^{}r \\[.5mm] \quad が導かれ,以下帰納的に\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}はそれぞれ公比rの等比 数列となる。\\ \quad 特に,\\[.5mm]\hspace*{6zw} a_n=a_1^{}r^{\hspace*{.5pt}n-1}=\ansbox{10\biggl(\dfrac{\sqrt{\,5\,}-1\,}{2} \biggr)^{\!n-1}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ク)} $ \end{document}