早稲田大学 商学部 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 商学部
年度 2011年度
問No 問3
学部 商学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=148mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{130mm}{\ \ \ 数列\,\raisebox{1pt} {$\{a_n\}$}\,を次のように定める.$ \\[1.5mm] \makebox[2zw][l]{(i)} a_1=0 \\[1.5mm] \makebox[2zw][l]{(ii)} n=2,\,3,\,4,\,\cdots\ に対し,\\[1mm] \qquad a_{n-1}\geqq nのとき,\ \ a_n=a_{n-1}-n \\[1mm] \qquad a_{n-1}<nのとき,\ \ a_n=a_{n-1}+n \\[1.5mm]とする.\\[1.5mm] 次の設問に答えよ.\\[8mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{1})}\ \ a_7\,を求めよ.\\[4mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{2})}\ \ a_k=kのとき,条件 \\[1mm] \hspace*{4zw}\, m>k,\ \ a_m=m \\[1mm] \qquad を満たす最小の整数mをkで表せ.\\[4mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{3})}\ \ a_{2011}\,を求めよ.$} \end{FRAME} \quad \\ (1)\ \ 条件\raisebox{.5pt}{(ii)}を次々と適用して,$a_1^{}=0<2より \\ \hspace*{6zw} a_2^{}=a_1^{}+2=2<3 \\ \hspace*{6zw} a_3^{}=a_2^{}+3=5\geqq 4 \\ \hspace*{6zw} a_4^{}=a_3^{}-4=1<5 \\ \hspace*{6zw} a_5^{}=a_4^{}+5=6\geqq 6 \\ \hspace*{6zw} a_6^{}=a_5^{}-6=0<7 \\ \hspace*{6zw} a_7^{}=a_6^{}+7=7 \ \ \ (答) \\[4mm]% (2)\ \ a_k^{}=k\ (\hspace*{1pt}<k+1\hspace*{1pt})のとき \\ \hspace*{6zw} a_{k+1}^{}=a_k^{}+k+1=2k+1\geqq k+2 \\ \hspace*{6zw} a_{k+2}^{}=a_{k+1}^{}-(k+2)=k-1 \\[.5mm] \quad ここで,\\[-.5mm] \hspace*{6zw} a_{k+2j}^{}=k-j\geqq 1 \\[.5mm] \quad であるとすれば,\ \ a_{k+2j}^{}<k+2j+1より \\ \hspace*{6zw} a_{k+2j+1}^{}=a_{k+2j}^{}+k+2j+1=2k+j+1 \\[.5mm] \quad\, (2k+j+1)-(k+2j+2)=k-j-1\geqq 0より \\ \hspace*{6zw} a_{k+2j+2}^{}=a_{k+2j+1}^{}-(k+2j+2)=k-(j+1)<k+2j+3 \\ \hspace*{6zw} a_{k+2j+3}^{}=(k-j-1)+(k+2j+3)=2k+j+2 \\[.5mm] \quad\, j=1,\ 2,\ \cdots,\ k-1について同様の操作が繰り返され,\\ \hspace*{6zw} a_{k+1}^{}<a_{k+3}^{}<\cdots<a_{k+2j+1}^{}=2k+j+1<\cdots \\ [.5mm]\hspace*{6zw} a_k^{}>a_{k+2}^{}>\cdots>a_{k+2j}^{}=k-j> \cdots>a_{k+2(k-1)}^{}>a_{k+2k}^{}=0 \\[.5mm] \hspace*{6zw} a_{3k+1}^{}=a_{3k}^{}+(3k+1)=3k+1 \\[.5mm] \quad よって,\ \ m>k,\ \,a_m=mを満たす最小の整数mは \\ \hspace*{8zw} m=3k+1 \ \ \ (答) \\[4mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}の考察内容を踏まえ,\\ \hspace*{6zw} 3\times 7+1=22,\ \ 3\times 22+1=67,\ \ 3\times 67+1=202, \\ \hspace*{6zw} 3\times 202+1=607,\ \ 3\times 607+1=1822 \\[.5mm] \quad より \\[-.5mm] \hspace*{6zw} a_{1822}^{}=1822<1823 \\ \hspace*{6zw} a_{1823}^{}=a_{1822}^{}+1823=3645 \\[1mm] \quad\, 2011=1823+2\times 94より \\[-.5mm] \hspace*{6zw} a_{2011}^{}=a_{1823}^{}+94=3645+94=3739 \ \ \ (答) $ \end{document}