早稲田大学 商学部 2011年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 商学部
年度 2011年度
問No 問1
学部 商学部
カテゴリ 数と式 ・ 指数関数と対数関数 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=144mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-1zw}\parbox{142mm}{\ \,\framebox[6.5mm][c]{ア}\makebox[19pt][c] {~}\framebox[6.5mm][c]{エ}\ にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ. $ \\[7mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{1})}\ \ 関数 \displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{8zw} f(x)=\int_0^{\hspace*{1pt}1} |\,t^2-x^2\,|\,dt \\[4mm] \qquad の最小値は\ \,\fbox{ア}\,\ である.\\[7mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{2})}\ \ nを正の整数とする.\ \ 10^n\,の 正の約数すべての積は\ \,\fbox{イ}\,\ である.\\[7mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{3})}\ \ \log_3 nが無理数となる2011以下の 正の整数nは,全部で\ \,\fbox{ウ}\,\ 個ある.\\[7mm]% \makebox[2zw][c]{(\makebox[1.7mm][c]{4})}\ \ 関数f(x)は,次の2つの条件を 満たしている.\\[1mm]% \qquad\makebox[2zw][l]{(i)} すべての実数xに対して,\ \ f(3+x)=f(3-x) \\[1mm] \qquad\makebox[2zw][l]{(ii)}\,xの値が,異なる5つの実数a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5\,のときに限り \\[1mm]\hspace*{4zw}\, f(x)=0となる.\\[4mm]% \qquad このとき\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\fbox{エ}\ \,である.$} \end{FRAME} \quad \\ (1)\ \ $f(-x)=f(x)であるから,最小値を求めるには \\ \hspace*{6zw} x\geqq 0 \\[.3mm] \quad の範囲だけ考えればよい。\\ \qquad\, 0\leqq x\leqq 1のとき \displaystyle \\[1mm]\makebox[8zw][r] {$f(x)$}=\int_0^{\hspace*{1pt}x} (x^2-t^{\hspace*{.5pt}2})\,dt+ \int_x^{\hspace*{1pt}1} (t^{\hspace*{.5pt}2}-x^2)\,dt \\[1.5mm]\hspace*{8zw} =\left[\,x^2 t-\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}3}}{3}\right]_{t=0}^{t=x} +\left[\,\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}3}}{3}-x^2 t\,\right]_{t=x}^{t=1} \\[2mm] \hspace*{8zw} =2\biggl(x^3-\frac{\,x^3}{3}\biggr)+\frac{1}{\,3\,}-x^2 \\ [1.5mm]\hspace*{8zw} =\frac{4}{\,3\,}x^3-x^2+\frac{1}{\,3\,} \\[2mm] \quad\, x\geqq 1のとき \\[1mm] \hspace*{6zw} f(x)=\int_0^{\hspace*{1pt}1} (x^2-t^{\hspace*{.5pt}2})\,dt =\left[\,x^2 t-\frac{\,t^{\hspace*{.5pt}3}}{3}\right]_{t=0}^{t=1} =x^2-\frac{1}{\,3\,} \\[2mm] \quad\, f(x)はx\geqq 1で単調増加であるから,最小値を求めるには \\ \hspace*{6zw} 0\leqq x\leqq 1 \\[.3mm] \quad の範囲だけ考えればよい。\\[1.2mm] \hspace*{6zw} f'(x)=4x^2-2x=4x\Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}\Bigr) \\[2mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} x &\ 0 & & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,} & & 1 \ \\[2mm] \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \\[1.5mm] \quad\, f(x)の最小値は \\ \hspace*{6zw} f\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)=\frac{1}{\,3\,}\Bigl(4\times \frac{1}{\,8\,}-3\times\frac{1}{\,4\,}+1\Bigr)=\ansbox{\dfrac{1}{\,4\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ア)} \\[5mm] (2)\ \ 10^{\hspace*{.5pt}n}=2^n\times 5^n\,の正の約数すべての積は \\ \hspace*{6zw} 2^0\ten 5^0\times 2^0\ten 5^1\times 2^0\ten 5^2\cdots \times 2^0\ten 5^n \\ \hspace*{6zw} \times 2^1\ten 5^0\times 2^1\ten 5^1\times 2^1\ten 5^2\cdots \times 2^1\ten 5^n \\ \hspace*{6zw} \times 2^2\ten 5^0\times 2^2\ten 5^1\times 2^2\ten 5^2\cdots \times 2^2\ten 5^n \\[-.5mm]\hspace*{6.5zw} \vdots \\[-1mm] \hspace*{6zw} \times 2^n\ten 5^0\times 2^n\ten 5^1\times 2^n\ten 5^2\cdots \times 2^1\ten 5^n \\[1mm]\hspace*{6zw} =(2^0\times 2^1\times 2^2\times\cdots\times 2^{\hspace*{.5pt}n})^{n+1}\times (5^0\times 5^1\times 5^2\times\cdots\times 5^{\hspace*{.5pt}n})^{n+1} \\ \hspace*{6zw} =(2^{\hspace*{1pt}0+1+2+\cdots+n})^{n+1}\times (5^{\hspace*{1pt}0+1+2+\cdots+n})^{n+1} \\[1.5mm]\hspace*{6zw} =\ansbox{2\raisebox{7pt}{\small$\frac{1}{\,2\,}$}\raisebox{8pt}{\scriptsize$ n(n\!+\!1)^2$}\,5\raisebox{7pt}{\small$\frac{1}{\,2\,}$}\raisebox{8pt} {\scriptsize$n(n\!+\!1)^2$}_{}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(イ)} \\[5mm] (3)\ \ \log_3 n=\frac{\,a\,}{b}\ \paalen{aとbは互いに素な自然数}とおくと \\ [1.5mm]\hspace*{6zw} n=3\raisebox{6pt}{$\frac{\,a\,}{b}$} \hspace*{3zw} \therefore\,\ n^b=3^a \\[.5mm] \quad 素因数分解の一意性より \\ \hspace*{6zw} n=3^k \quad \paalen{kは自然数} \\[.3mm] \quad と表され,\\ \hspace*{6zw} kb=a \\[.3mm] \quad\, aとbは互いに素であるからaはkの約数となり,\ \ bは1の約数となって,\\ \hspace*{6zw} b=1 \hspace*{3zw} \therefore\,\ n=3^a \\[.3mm] \quad\, n=1\ (\hspace*{.5pt}a=0\hspace*{1pt})のときもあわせて,\ \ \log_3 nが有理数となる2011以下の正の整数は \\ \hspace*{6zw} 1,\ 3,\ 3^2,\ 3^3,\ 3^4,\ 3^5,\ 3^6=729 \\[.3mm] \quad の7個(3^7=2187)である。\\ \qquad よって,\ \ \log_3 nが無理数となる2011以下の正の整数nは \\[.8mm] \hspace*{6zw} 2011-7=\underset{(ウ)}{\ansbox{2004}}\ 個 \\[4mm] (4)\ \ 条件\raisebox{.5pt}{(i)}より \\ \hspace*{6zw} f(3+x)=0\ \Longrightarrow\ f(3-x)=0 \\[.5mm] \quad であり,条件\raisebox{.5pt}{(ii)}より \\ \hspace*{6zw} f(x)=0 \iff x=a_1^{},\ a_2^{},\ a_3^{},\ a_4^{},\ a_5^{} \\ [.3mm]\quad であるから,\ \ a_1^{}<a_2^{}<a_3^{}<a_4^{}<a_5^{}\,であると すれば,\\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{\,a_1^{}+a_5^{}\,}{2}=3,\ \ \frac{\,a_2^{}+a_4^{}\,}{2}=3,\ \ a_3^{}=3 \\[2mm]\quad である。したがって,\\ \hspace*{6zw} a_1^{}+a_2^{}+a_3^{}+a_4^{}+a_5^{}=(3\times 2)\times 2+3 =\ansbox{15}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(エ)} $ \end{document}