早稲田大学 教育学部<理科系> 2011年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2011年度
問No 問4
学部 教育学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=137mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{130mm}{点O(0,\,0),\ A(4,\,0),\ B(0,\,3)を頂点とする 三角形OABがある。三角形OABの面\\[1mm]積を2等分する線分の長さの最大値と最小値を求めよ。} \end{FRAME} \quad \\ \,P$(4x,\ 0)$,\ \,Q$(0,\ 3y)$,\ \,R$(4(1-r),\ 3r) \ \ (0\leqq x\leqq 1,\ \,0\leqq y\leqq 1,\ \,0\leqq r\leqq 1)とおく。\\ [1.5mm]\,1^\circ\ \,線分\mbox{PQが三角形OAB}の面積を二等分するとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} xy=\displaystyle\frac{1}{\,2\,} \\[1.8mm] \quad よりyを消去すると,\ \ 0\leqq y=\frac{1}{\,2x\,}\leqq 1より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \overline{\mbox{PQ}}^{\,2}=(4x)^2+(3y)^2=16x^2+\frac{9} {\,4x^2}\ \ \Bigl(\frac{1}{\,2\,}\leqq x\leqq 1\Bigr) \\[2mm] \quad ここで,\\[1mm]\hspace*{6zw} t=4x^2,\ \ f(t)=4\hspace*{.5pt}t+\frac{\,9\,}{t} \ \ (1\leqq t\leqq 4) \\ [2mm]\quad とおくと,\\[.5mm]\hspace*{6zw} f'(t)=4-\frac{9}{\,t^{\hspace*{.5pt}2}}=\frac{\,4\hspace*{.5pt} t^{\hspace*{.5pt}2}-9\,}{t^{\hspace*{.5pt}2}}=\frac{\,(2\hspace*{.5pt}t+3) (2\hspace*{.5pt}t-3)\,}{t^{\hspace*{.5pt}2}} \\[1.8mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} t &\, 1 & & \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{3}\,}{2} & & 4 \\[2mm] \hline f'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline\tabtopsp{2.5mm} f(t) &\, 13 & \searrow & \mbox{\small 極小}\atop\tabtopsp{-.5mm}\mbox{12} & \nearrow & \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{73}\,}{4} \\[2.2mm]\hline \end{array} \\[1.2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \overline{\mbox{PQ}}\ の最大値は\,\sqrt{f(4)} =\frac{\sqrt{\,73\,}\,}{2},\ \ 最小値は\,\sqrt{f\Bigl(\frac{\,3\,}{2}\Bigr)} =2\sqrt{\,3\,} \\[3mm] \,2^\circ\ \,線分\mbox{QRが三角形OAB}の面積を二等分するとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} (1-y)(1-r)=\frac{1}{\,2\,} \\[1.8mm] \quad よりyを消去すると,\ \ 0\leqq 1-y=\frac{1}{\,2(1-r)\,}\leqq 1より \\ [1.2mm]\makebox[86pt][r]{$\overline{\mbox{QR}}^{\,2}$}=16(1-r)^2+9(r-y)^2 \\ [1mm]\hspace*{86pt} =16(1-r)^2+9\biggl(r-1+\frac{1}{\,2(1-r)\,}\! \biggr)^{\!2} \\[1.2mm]\hspace*{86pt} =25(1-r)^2-9+\frac{9}{\,4(1-r)^2} \ \ \Bigl(\frac{1}{\,2\,}\leqq 1-r\leqq 1\Bigr) \\[2mm] \quad ここで,\\[.5mm] \hspace*{6zw} u=(1-r)^2,\ \ g(u)=25u+\frac{9}{\,4u\,}-9 \ \ \Bigl(\frac{1}{\,4\,}\leqq u\leqq 1\Bigr) \\[2mm] \quad とおくと,\\[.5mm] \hspace*{6zw} g\hspace*{1pt}'(u)=25-\frac{9}{\,4u^2} =\frac{\,100\hspace*{1pt}u^2-9\,}{4u^2}=\frac{\,25\,}{\,u^2}\Bigl(u+\frac{3} {\,10\,}\Bigr)\Bigl(u-\frac{3}{\,10\,}\Bigr) \\[1.8mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} u &\, \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{1}\,}{4} & & \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{3}\,}{10} & & 1 \\[2.5mm]\hline g\hspace*{1pt}'(u) & & - & 0 & + & \\ \hline\tabtopsp{2.5mm} g(u) &\, \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{25}\,}{4} & \searrow & \mbox{\small 極小}\atop\tabtopsp{-.5mm}\mbox{6} & \nearrow & \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{73}\,}{4} \\[2.2mm]\hline \end{array} \\[1.2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \overline{\mbox{QR}}\ の最大値は\,\sqrt{g(1)} =\frac{\sqrt{\,73\,}\,}{2},\ \ 最小値は\, \sqrt{g\Bigl(\frac{3}{\,10\,}\Bigr)}=\sqrt{\,6\,} \\[3mm] \,3^\circ\ \,線分\mbox{RPが三角形OAB}の面積を二等分するとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} r(1-x)=\frac{1}{\,2\,} \\[1.8mm] \quad よりxを消去すると,\ \ 0\leqq 1-x=\frac{1}{\,2r\,}\leqq 1より \\[1.5mm] \makebox[85pt][r]{$\overline{\mbox{RP}}^{\,2}$} =16\hspace*{1pt}(1-r-x)^2+9\hspace*{1pt}r^2 \\[1.5mm]\hspace*{85pt} =16\Bigl(\frac{1}{\,2r\,}-r\Bigr)^{\!2}+9\hspace*{1pt}r^2 \\[1.5mm] \hspace*{85pt} =25\hspace*{1pt}r^2+\frac{4}{\,r^2}-16 \ \ \Bigl(\frac{1}{\,2\,}\leqq r\leqq 1\Bigr) \\[2mm] \quad ここで,\\[.5mm] \hspace*{6zw} s=r^2,\ \ h(s)=25\hspace*{1pt}s+\frac{\,4\,}{s}-16 \ \ \Bigl(\frac{1}{\,4\,}\leqq s\leqq 1\Bigr) \\[2mm] \quad とおくと,\\[1mm]\hspace*{6zw} h'(s)=25-\frac{4}{\,s^2}=\frac{\,25\hspace*{.5pt}s^2-4\,}{s^2}=\frac{\, (5\hspace*{.5pt}s+2)(5\hspace*{.5pt}s-2)\,}{s^2} \\[1.8mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} s &\,\dfrac{\,\raisebox{-.5mm} {1}\,}{4} & & \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{2}\,}{5} & & 1 \\[2.5mm]\hline h'(s) & & - & 0 & + & \\ \hline\tabtopsp{2.5mm} h(s) &\,\dfrac{\,\raisebox{-.5mm} {25}\,}{4} & \searrow & \mbox{\small 極小}\atop\tabtopsp{-.5mm}\mbox{4} & \nearrow & 13 \\[2.2mm]\hline \end{array} \\[1.2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \overline{\mbox{PR}}\ の最大値は\,\sqrt{h(1)} =\sqrt{\,13\,},\ \ 最小値は\,\sqrt{h\Bigl(\frac{2}{\,5\,}\Bigr)}=2 \\[4mm] \quad 以上より,求める線分の長さの \\[1.2mm]\hspace*{6zw} 最大値は\,\frac{\sqrt{\,73\,}\,}{2},\ \ 最小値は\ 2 \ \ \ (答) \\[2mm] \quad である。$ \end{document}