室蘭工業大学 前期 2012年度 問4

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2012年度
問No 問4
学部 工学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{color} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{4.}} 平面上の3点A,B,Cは同一直線上にないものとし,$|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{\rm AC}|=1$とする。  また,$t$を正の実数とし,平面上の点Pを$\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}$を定め,線分APと  BCの交点をQとする。 {\sf (1)} $\overrightarrow{\rm AQ}$を$t$および$\overrightarrow{\rm AB},\overrightarrow{\rm AC}$を用いて表せ。 {\sf (2)} 三角形ABPの面積を$t$と内積$\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}$を用いて表せ {\sf (3)} $\overrightarrow{\rm AC}⊥\overrightarrow{\rm CP}$かつ点Qが線分BCを1:2に内分するとき,三角形BPQの面積を求    めよ。 \end{screen} \fbox{\sf 解 答}         \input{_wtpic2004.tex}         ~ {\sf (1)} 3点A,P,Qが同一直線上にあるための条件は          $\overrightarrow{\rm AQ}=k\overrightarrow{\rm AP} (kは実数)$    となる。ここで,$\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}$より,          $\overrightarrow{\rm AQ}=k(\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}) ⇔ \overrightarrow{\rm AQ}=k\overrightarrow{\rm AB}+kt\overrightarrow{\rm AC}・・・・・\textcircled{\scriptsize1}$    となり,点Qは線分BC上にあるので,          $k+kt=1 ⇔ k(t+1)=1$                 ∴$k=\displaystyle \frac{1}{t+1}$    となる。よって,$\textcircled{\scriptsize1}$より,          $\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{1}{t+1}\overrightarrow{\rm AB}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{\rm AC}$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} △ABCの面積は,$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\rm AB}|^2|\overrightarrow{\rm AC}|^2-(\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC})^2}$となるので,    $|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{\rm AC}|=1$より,    △ABC=$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{1-(\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC})^2}・・・・・★$    となる。ここで,{\sf (1)}より,AP:AQ=$t+1:1$なので,     △ABP:△ABQ=$(t+1):1$ ⇔ △ABP=$(t+1)$△ABQ・・・・・\textcircled{\scriptsize2}    となる。同様に{\sf (1)}より, BQ:CQ=$t:1$なので,     △ABQ:△ABC=$t:(t+1) ⇔$ $t$△ABC=$(t+1)$△ABQ・・・・・\textcircled{\scriptsize3}    となる。$\textcircled{\scriptsize2},\textcircled{\scriptsize3}$より,              △ABP=$t$△ABC$・・・・・\textcircled{\scriptsize4}$    なので,求める△ABPの面積は★,$\textcircled{\scriptsize4}$より              △ABP=$\displaystyle \frac{t}{2}\sqrt{1-(\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC})^2}$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (3)} 点Qが線分BCを1:2に内分する点なので,BQ:CQ=$t:1=1:2$より,                $t=\displaystyle \frac{1}{2}$    となる。また,$\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC}$             $=\displaystyle \left(\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\rm AC} \right)-\overrightarrow{\rm AC}$             $=\overrightarrow{\rm AB}-\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\rm AC}$なので,    $\overrightarrow{\rm AC}⊥\overrightarrow{\rm CP} ⇔ \overrightarrow{\rm AC}・\overrightarrow{\rm CP}=0$より,           $\overrightarrow{\rm AC}・\displaystyle \left(\overrightarrow{\rm AB}-\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\rm AC} \right)=0 ⇔ \overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}-\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AC}|^2=0$                  $⇔ \overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}=\displaystyle \frac{1}{2}$                          $(∵|\overrightarrow{\rm AC}|=1)・・・・・\textcircled{\scriptsize5}$    {\sf (2)}の結果,\textcircled{\scriptsize5}より, △ABP=$\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{8}$・・・・・\textcircled{\scriptsize6}    となる。AQ:QP=$1:\displaystyle \frac{1}{2}=2:1$より,△ABP:△BPQ=3:1だから,\textcircled{\scriptsize6}より,求め    る△BPQの面積は,         △BPQ=$\displaystyle \frac{1}{3}$△ABP=$\displaystyle \frac{1}{3}・\frac{\sqrt{3}}{8}$                  $=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{24}$・・・・・{\sf ((答))} ~ ~ ~ ~ ~ ~ (1)の\fbox{\sf 別 解} Aを原点とおいて,以下のような座標平面を設定する。          \input{_wtpic2005.tex} 直線APの式は,$y=tx$・・・・・\textcircled{\scriptsize7} 直線BCの式は,$y=-x+1$・・・・・\textcircled{\scriptsize8} となるので,\textcircled{\scriptsize7},\textcircled{\scriptsize8}より,    $tx=-x+1 ⇔ (t+1)x=1$          $∴ x=\displaystyle \frac{1}{t+1}$ となる。よって,点Qの座標は,$\displaystyle \left(\frac{1}{t+1},\frac{t}{t+1} \right)$となるので, 求める$\overrightarrow{\rm AQ}$は     $\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{1}{t+1}\overrightarrow{\rm AB}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{\rm AC}$・・・・・{\sf ((答))} \end{document}