名古屋大学 前期理系 2009年度 問5

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解答作成者: 山本 有也

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 2009年度
問No 問5
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ 数と式 ・ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,fleqn,papersize]{jsarticle} \begin{document} \fboxsep=2mm \fbox{ \begin{minipage}{140mm} \flushleft{ $x,y$を正の整数とする.\vspace{4mm} \\ \hspace{3mm} (1)\ $ \displaystyle \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} $をみたす組($x,y$)をすべて求めよ.\vspace{3mm} \\ \hspace{3mm} (2)\ $p$を3以上の素数とする. \vspace {1.5mm} \\ \hspace{8.5mm} $ \displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p} $をみたす組($x,y$)のうち、$2x+3y$を最小にする($x,y$)を求めよ. } \end{minipage} } \vspace{2mm} \\ (1)\hspace{5mm}$ \displaystyle \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} $ \hspace{2mm} $ \Leftrightarrow \hspace{2mm} xy-8y-4x=0$ \\ \hspace{30mm} $ \Leftrightarrow (x-8)(y-4)=32$ \\ これと、$x \geq 1 \ , \ y \geq 1$であることに注意すると、\\ $(x-8 \ , \ y-4) \ = \ (1,32)\ ,\ (2,16)\ ,\ (4,8)\ ,\ (8,4),\ (16,2)\ ,\ (32,1)$ \\ したがって、\\ \underline{ $(x,y)\ =\ (9,36)\ ,\ (10,20)\ ,\ (12,12)\ ,\ (16,8)\ ,\ (24,6)\ ,\ (40,5)$ } \vspace{2mm} \\ (2)\hspace{5mm}(1)と同様にして、\vspace{2mm} \\ \hspace{9mm} $ \displaystyle \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p} $ \hspace{2mm} $\Leftrightarrow \hspace{2mm} xy-2py-px=0$\\ \hspace{30.5mm} $ \Leftrightarrow (x-2p)(y-p)=2p^2$ \\ これと、$x \geq 1 \ , \ y \geq 1$、また、$p$が素数であることに注意すると、\\ $(x-2p\ ,\ y-p)\ =\ (1,2p^2)\ ,\ (p,2p)\ ,\ (p^2,2)\ ,\ (2,p^2)\ ,\ (2p,p)\ ,\ (2p^2,1)$\\ $(x,y)\ =\ (1+2p,2p^2+p)\ ,\ (3p,3p)\ ,\ (p^2+2p,2+p),$\\ \hspace{14mm} $(2+2p,p^2+p)\ ,\ (4p,2p)\ ,\ (2p^2+2p,p+1)$ \\ それぞれの組に対して、$2x+3y$の値を求めると、\\ $2x+3y=6p^2+7p+2,\ 15p,\ 2p^2+7p+6,\ 3p^2+7p+4,\ 14p,\ 4p^2+7p+3$ \\ この組の中で最小となるものを求める.\\ ここで、$p \geq 3 より、p^2 \geq 9$であることを利用すると、\\ $(6p^2+7p+2)-(4p^2+7p+3)=2p^2-1 \geq 17\ >\ 0$ \\ $(4p^2+7p+3)-(3p^2+7p+4)=p^2-1 \geq 8\ >\ 0$ \\ $(3p^2+7p+4)-(2p^2+7p+6)=p^2-2 \geq 7\ > \ 0$ \\ $(2p^2+7p+6)-15p=2p^2-8p+6=2(p-3)(p-1) \geq 0$ \\ $15p-14p=p \geq 3 \ >0$ \\ となり、$14p$が最小値である.\\ 以上より、求める $(x,y)$ の組は、\\ $ \underline{ (x,y)\ =\ (4p,2p) } $ \end{document}