名古屋大学 前期文系 2009年度 問2

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解答作成者: 山本 有也

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期文系
年度 2009年度
問No 問2
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済 ・ 情報文化(社会システム情報)
カテゴリ 二次関数 ・ 図形と方程式 ・ 図形と計量 ・ 平面幾何 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\fboxsep=2mm \fbox{ \begin{minipage}{140mm} 放物線$y=ax^{2}$(a>0)と円$(x-b)^{2}+(y-1)^{2}=1$(b>0)が点P($p,q$)で接しているとする。 ただし、${0<p<b}$とする。\\この円の中心Qから${x}$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をRとしたとき、 \angle PQR=120°であるとする。\\ ここで、放物線と円が点Pで接するとはPが放物線と円の共有点であり、かつ点Pにおける放物線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。\\ \par (1) $a,b$の値を求めよ。\par (2) 点Pと点Rを結ぶ短い方の弧と${x}$軸および放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。 \end{minipage} } \vspace{5mm} \\ \par (1)\hspace{5mm} 右図のように、点を設定する。\\ \angle PQR=120°から$ \bigtriangleup $ PQSは直角三角形で、QS\ =\ $b-p$,\hspace{5mm} PS\ =\ $ap^{2}-1$ \\ また、PQ=1から、図より、\\ $\left \{ \begin{array}{l} b-p=\cos 30^{\circ} =\frac{\sqrt{3}}{2}\\ ap^{2}-1=\sin 30^{\circ} =\frac{1}{2} \end{array} \right.$ \\ を満たす。\\ また、PQの傾きは、図より、\\ $ \tan 150°=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ \\ であるから、接点における円の接線の傾き$m$は、\\ $-\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot m =-1$ \ $ \Leftrightarrow $ \ $ m= \sqrt{3} $ \\ これが、放物線$y=ax^{2}$上の点Pでの\\ 接線の傾きと一致するので、\\ $y'=2ax$ \\ より、点Pにおける接線の傾きは、2apだから\\ $2ap=\sqrt{3}$ \\[-98mm] \hspace{70mm} \includegraphics[width=7.5cm, bb= 0 0 600 800]{09nagoya02.jpg} \\ これら3式を解いて、\par \[ p=\sqrt{3},\ a=\frac{1}{2},\ b=\frac{3\sqrt{3}}{2} \] \\ (2)\hspace{5mm}求める面積は、(1)の図より、点Pから$x$軸に垂直に下ろした点をTとすると、 \[ \int_{0}^{ \sqrt{3} } \frac{1}{2} x^{2} dx + (台形PQRT) - (扇形PQR) =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times (\frac{3}{2}+1) \times (\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}) - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} \pi \\ \] \[=\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3} \] \[ よって、求める面積は\hspace{3mm}\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3} \]