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解答作成者: 小松 弘直
入試情報
大学名 |
室蘭工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2012年度 |
問No |
問3 |
学部 |
工学部
|
カテゴリ |
数列
|
状態 |
 |
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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle}
\pagestyle{empty}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{color}
\begin{document}
\begin{screen}
{\bf \large{3.}} 数列${a_n}$を
\begin{center}
$a_n=\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} (n=1,2,3,・・・)$
\end{center}
と定める。
{\sf (1)} 定数$p,q$を用いて$a_n=p \displaystyle \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき,$p,q$
の値を求めよ。
{\sf (2)} 数列{$a_n$}の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ。
\end{screen}
\fbox{\sf 解 答}
{\sf (1)} $a_n=p \displaystyle \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$
$=\displaystyle \frac{p}{n(n+1)}+\frac{q}{(n+1)(n+2)}$
$=\displaystyle \frac{p(n+2)+qn}{n(n+1)(n+2)}$
$=\displaystyle \frac{(p+q)n+2p}{n(n+1)(n+2)}・・・・・(*)$
$(*)$と$a_n=\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$においてすべての$n$に対して成り立つので
\[
\left\{
\begin{array}{c c l}
p+q & = & 2 \\
2p & = & 1
\end{array}
\right.
\] ⇔ $p=\displaystyle \frac{1}{2},q=\frac{3}{2}$・・・・・{\sf ((答))}
{\sf (2)} {\sf (1)}の結果を用いると,$a_n$は,
$a_n= \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$
となる。よって,数列{$a_n$}の初項から第$n$項までの和$S_n$は,
$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^na_k$
=$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \right) \right\}$
=$\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \left( 1-\frac{1}{2} \right)+ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+・・・・・+ \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \right\}$
$+\displaystyle \frac{3}{2} \left\{ \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+・・・・・+ \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right) \right\}$
=$\displaystyle \frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \right)$
=$\displaystyle \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$・・・・・{\sf ((答))}
{\sf ((注))} {\sf (1)}では,$a_n$を部分分数分解(差分分解)を行う設問であり,{\sf (2)}では,{\sf (1)}
を結果を用いて和を求める基本問題です。これは確実に得点する問題の1つ
です。
\end{document}