すうじあむ

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \usepackage{color} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{3.}}　数列$｛a_n｝$を \begin{center} $a_n=\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}　(n=1,2,3,・・・)$ \end{center} 　と定める。 {\sf (1)}　定数$p,q$を用いて$a_n=p \displaystyle \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき,$p,q$ 　　の値を求めよ。 {\sf (2)}　数列｛$a_n$｝の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ。 \end{screen} \fbox{\sf 解　答} {\sf (1)}　$a_n=p \displaystyle \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$ 　　　　$=\displaystyle \frac{p}{n(n+1)}+\frac{q}{(n+1)(n+2)}$ 　　　　$=\displaystyle \frac{p(n+2)+qn}{n(n+1)(n+2)}$ 　　　　$=\displaystyle \frac{(p+q)n+2p}{n(n+1)(n+2)}・・・・・(*)$ 　　　$(*)$と$a_n=\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$においてすべての$n$に対して成り立つので 　　　　　　　　　\[ \left\{ \begin{array}{c c l} p+q & = & 2 \\ 2p & = & 1 \end{array} \right. \]　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　$p=\displaystyle \frac{1}{2},q=\frac{3}{2}$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (2)}　{\sf (1)}の結果を用いると,$a_n$は, 　　　　　$a_n= \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$ 　　　となる。よって,数列｛$a_n$｝の初項から第$n$項までの和$S_n$は, 　　　　$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^na_k$ 　　　　　　=$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \right) \right\}$ 　　　　　　=$\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \left( 1-\frac{1}{2} \right)+ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+・・・・・+ \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \right\}$ 　　　　　　　　$+\displaystyle \frac{3}{2} \left\{ \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+・・・・・+ \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right) \right\}$ 　　　　　　=$\displaystyle \frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \right)$ 　　　　　　=$\displaystyle \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$・・・・・{\sf ((答))} {\sf ((注))}　{\sf (1)}では,$a_n$を部分分数分解（差分分解）を行う設問であり,{\sf (2)}では,{\sf (1)}　 　　　を結果を用いて和を求める基本問題です。これは確実に得点する問題の1つ 　　　です。　 \end{document}