室蘭工業大学 前期 2012年度 問3

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2012年度
問No 問3
学部 工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \usepackage{color} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{3.}} 数列${a_n}$を \begin{center} $a_n=\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} (n=1,2,3,・・・)$ \end{center}  と定める。 {\sf (1)} 定数$p,q$を用いて$a_n=p \displaystyle \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき,$p,q$   の値を求めよ。 {\sf (2)} 数列{$a_n$}の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ。 \end{screen} \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $a_n=p \displaystyle \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$     $=\displaystyle \frac{p}{n(n+1)}+\frac{q}{(n+1)(n+2)}$     $=\displaystyle \frac{p(n+2)+qn}{n(n+1)(n+2)}$     $=\displaystyle \frac{(p+q)n+2p}{n(n+1)(n+2)}・・・・・(*)$    $(*)$と$a_n=\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$においてすべての$n$に対して成り立つので          \[ \left\{ \begin{array}{c c l} p+q & = & 2 \\ 2p & = & 1 \end{array} \right. \]                  ⇔ $p=\displaystyle \frac{1}{2},q=\frac{3}{2}$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} {\sf (1)}の結果を用いると,$a_n$は,      $a_n= \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$    となる。よって,数列{$a_n$}の初項から第$n$項までの和$S_n$は,     $S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^na_k$       =$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \right) \right\}$       =$\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \left( 1-\frac{1}{2} \right)+ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+・・・・・+ \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \right\}$         $+\displaystyle \frac{3}{2} \left\{ \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+・・・・・+ \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right) \right\}$       =$\displaystyle \frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \right)$       =$\displaystyle \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$・・・・・{\sf ((答))} {\sf ((注))} {\sf (1)}では,$a_n$を部分分数分解(差分分解)を行う設問であり,{\sf (2)}では,{\sf (1)}     を結果を用いて和を求める基本問題です。これは確実に得点する問題の1つ    です。  \end{document}