室蘭工業大学 前期 2012年度 問2

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2012年度
問No 問2
学部 工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \usepackage{color} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{2.}} $a,b$を定数とする。関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され,条件 \begin{center} $f'(x)=\displaystyle \frac{2a}{x(2-x)}+b, \displaystyle f' \left(\frac{1}{2} \right)=9, f'(1)=7, f(1)=1$ \end{center}  を満たすとする。 {\sf (1)} $a,b$の値を求めよ。 {\sf (2)} 関数$f(x)$を求めよ。 {\sf (3)} 曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ。  \end{screen} \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $\displaystyle f' \left(\frac{1}{2} \right)=9$より, $\displaystyle \frac{2a}{\displaystyle \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \right)}+b=9 ⇔ \displaystyle \frac{2a}{\displaystyle \frac{3}{4}}+b=9$                $⇔ \displaystyle \frac{8}{3}a+b=9・・・・・\textcircled{\scriptsize1}$    $f'(1)=7$より, $\displaystyle \frac{2a}{1(2-1)}+b=7 ⇔ 2a+b=7・・・・・\textcircled{\scriptsize2}$    $\textcircled{\scriptsize1},\textcircled{\scriptsize2}$より,$a=3,b=1$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} {\sf (1)}の結果より, $f'(x)=\displaystyle \frac{6}{x(2-x)}+1$となる。ここで,        $\displaystyle \frac{A}{x}+\frac{B}{2-x}= \frac{6}{x(2-x)}$    とおくと        $A(2-x)+Bx=6 ⇔ (-A+B)x+2A=6・・・・・(*)$    となる。$(*)$は,どんな$x$に対しても成り立つので        \[ \left\{ \begin{array}{c c l} -A+B & = & 0 \\ 2A & = & 6 \end{array} \right. \]     $⇔ A=3,B=3$となり,$f'(x)=\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+1$となる。       よって,$f(x)=\displaystyle \int \left(\frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+1 \right)dx$             $=3\log x-3\log(2-x)+x+C(Cは積分定数)$    となる。$f(1)=1$より,$1+C=1 ⇔ C=0$ より,求める関数$f(x)$は          $f(x)=\displaystyle 3\log \frac{x}{2-x}+x$ ・・・・・{\sf ((答))} {\sf (3)} {\sf (1)}の結果より, $f'(x)=\displaystyle \frac{6}{x(2-x)}+1$から,      $f''(x)=\displaystyle \frac{12(x-1)}{(x^2-2x)^2}=\frac{12(x-1)}{x^2(x-2)^2}$    $0<x<2$より,$f''(x)=0⇔12(x-1)=0(∵0<x<2より,x^2(x-2)^2≠0)$       $∴ x=1$     よって,$f(x)$の凹凸は以下のとおりである。 \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x&0&\cdots&1&\cdots&2\\ \hline y'& &-&0&+& \\ \hline y& &\frown & &\smile& \\ \hline \end{array} \]    したがって,$f(1)=3\log1+1=1$より,    求める$y=f(x)$の変曲点は(1,1)・・・・・{\sf ((答))} \end{document}