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解答作成者: 小松 弘直
入試情報
大学名 |
室蘭工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2012年度 |
問No |
問2 |
学部 |
工学部
|
カテゴリ |
微分法の応用 ・ 積分法の応用
|
状態 |
 |
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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle}
\pagestyle{empty}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{color}
\begin{document}
\begin{screen}
{\bf \large{2.}} $a,b$を定数とする。関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され,条件
\begin{center}
$f'(x)=\displaystyle \frac{2a}{x(2-x)}+b, \displaystyle f' \left(\frac{1}{2} \right)=9, f'(1)=7, f(1)=1$
\end{center}
を満たすとする。
{\sf (1)} $a,b$の値を求めよ。
{\sf (2)} 関数$f(x)$を求めよ。
{\sf (3)} 曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ。
\end{screen}
\fbox{\sf 解 答}
{\sf (1)} $\displaystyle f' \left(\frac{1}{2} \right)=9$より, $\displaystyle \frac{2a}{\displaystyle \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \right)}+b=9 ⇔ \displaystyle \frac{2a}{\displaystyle \frac{3}{4}}+b=9$
$⇔ \displaystyle \frac{8}{3}a+b=9・・・・・\textcircled{\scriptsize1}$
$f'(1)=7$より, $\displaystyle \frac{2a}{1(2-1)}+b=7 ⇔ 2a+b=7・・・・・\textcircled{\scriptsize2}$
$\textcircled{\scriptsize1},\textcircled{\scriptsize2}$より,$a=3,b=1$・・・・・{\sf ((答))}
{\sf (2)} {\sf (1)}の結果より, $f'(x)=\displaystyle \frac{6}{x(2-x)}+1$となる。ここで,
$\displaystyle \frac{A}{x}+\frac{B}{2-x}= \frac{6}{x(2-x)}$
とおくと
$A(2-x)+Bx=6 ⇔ (-A+B)x+2A=6・・・・・(*)$
となる。$(*)$は,どんな$x$に対しても成り立つので
\[
\left\{
\begin{array}{c c l}
-A+B & = & 0 \\
2A & = & 6
\end{array}
\right.
\]
$⇔ A=3,B=3$となり,$f'(x)=\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+1$となる。
よって,$f(x)=\displaystyle \int \left(\frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+1 \right)dx$
$=3\log x-3\log(2-x)+x+C(Cは積分定数)$
となる。$f(1)=1$より,$1+C=1 ⇔ C=0$ より,求める関数$f(x)$は
$f(x)=\displaystyle 3\log \frac{x}{2-x}+x$ ・・・・・{\sf ((答))}
{\sf (3)} {\sf (1)}の結果より, $f'(x)=\displaystyle \frac{6}{x(2-x)}+1$から,
$f''(x)=\displaystyle \frac{12(x-1)}{(x^2-2x)^2}=\frac{12(x-1)}{x^2(x-2)^2}$
$0<x<2$より,$f''(x)=0⇔12(x-1)=0(∵0<x<2より,x^2(x-2)^2≠0)$
$∴ x=1$
よって,$f(x)$の凹凸は以下のとおりである。
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
\hline
x&0&\cdots&1&\cdots&2\\
\hline
y'& &-&0&+& \\
\hline
y& &\frown & &\smile& \\
\hline
\end{array}
\]
したがって,$f(1)=3\log1+1=1$より,
求める$y=f(x)$の変曲点は(1,1)・・・・・{\sf ((答))}
\end{document}