すうじあむ

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \usepackage{color} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{2.}}　$a,b$を定数とする。関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され,条件 \begin{center} $f'(x)=\displaystyle \frac{2a}{x(2-x)}+b,　\displaystyle f' \left(\frac{1}{2} \right)=9,　f'(1)=7,　f(1)=1$ \end{center} 　を満たすとする。 {\sf (1)}　$a,b$の値を求めよ。 {\sf (2)}　関数$f(x)$を求めよ。 {\sf (3)}　曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ。　 \end{screen} \fbox{\sf 解　答} {\sf (1)}　$\displaystyle f' \left(\frac{1}{2} \right)=9$より,　$\displaystyle \frac{2a}{\displaystyle \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \right)}+b=9　⇔　\displaystyle \frac{2a}{\displaystyle \frac{3}{4}}+b=9$ 　　　　　　　　　　　　　　　$⇔　\displaystyle \frac{8}{3}a+b=9・・・・・\textcircled{\scriptsize1}$ 　　　$f'(1)=7$より,　$\displaystyle \frac{2a}{1(2-1)}+b=7　⇔　2a+b=7・・・・・\textcircled{\scriptsize2}$ 　　　$\textcircled{\scriptsize1},\textcircled{\scriptsize2}$より,$a=3,b=1$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (2)}　{\sf (1)}の結果より,　$f'(x)=\displaystyle \frac{6}{x(2-x)}+1$となる。ここで, 　　　　　　　$\displaystyle \frac{A}{x}+\frac{B}{2-x}= \frac{6}{x(2-x)}$ 　　　とおくと 　　　　　　　$A(2-x)+Bx=6　⇔　(-A+B)x+2A=6・・・・・(*)$ 　　　となる。$(*)$は,どんな$x$に対しても成り立つので 　　　　　　　\[ \left\{ \begin{array}{c c l} -A+B & = & 0 \\ 2A & = & 6 \end{array} \right. \]　 　　　$⇔　A=3,B=3$となり,$f'(x)=\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+1$となる。 　　　　　　よって,$f(x)=\displaystyle \int \left(\frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+1 \right)dx$ 　　　　　　　　　　　　$=3\log x-3\log(2-x)+x+C(Cは積分定数)$ 　　　となる。$f(1)=1$より,$1+C=1　⇔　C=0$　より,求める関数$f(x)$は 　　　　　　　　　$f(x)=\displaystyle 3\log \frac{x}{2-x}+x$　・・・・・{\sf ((答))} {\sf (3)}　{\sf (1)}の結果より,　$f'(x)=\displaystyle \frac{6}{x(2-x)}+1$から, 　　　　　$f''(x)=\displaystyle \frac{12(x-1)}{(x^2-2x)^2}=\frac{12(x-1)}{x^2(x-2)^2}$ 　　　$0<x<2$より,$f''(x)=0⇔12(x-1)=0(∵0<x<2より,x^2(x-2)^2≠0)$ 　　　　　　$∴　x=1$　 　　　よって,$f(x)$の凹凸は以下のとおりである。 \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x&0&\cdots&1&\cdots&2\\ \hline y'& &-&0&+& \\ \hline y& &\frown & &\smile& \\ \hline \end{array} \] 　　　したがって,$f(1)=3\log1+1=1$より, 　　　求める$y=f(x)$の変曲点は(1,1)・・・・・{\sf ((答))} \end{document}