室蘭工業大学 前期 2012年度 問1

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2012年度
問No 問1
学部 工学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{color} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{1.}} $a,b,c$を定数とし,$a>0$とする。関数$f(x),g(x)$を \begin{center} $f(x)=x^2,g(x)=-ax^2+bx+c$ \end{center}  と定める。 {\sf (1)} 2つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が2つの交点を持つための必要十分条件   を求めよ。 {\sf (2)} 2つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が2つの交点$(-1,1),(2,4)$を持つとする。   このとき,$b$と$c$を$a$を用いて表せ。 {\sf (3)} {\sf (2)}の条件のもとで,2つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面   積が9であるとき,$a,b,c$の値を求めよ。  \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $y=f(x)$と$y=g(x)$が2つの交点を持つための条件は,     $x^2=-ax^2+bx+c ⇔ (a+1)x^2-bx-c=0・・・・・(*)$   となる。$(*)$は$a>0$より,$a+1≠0$なので,2次方程式であることから,$(*)$が異な   る2つの実数解を持てばよい。      (判別式)=$(-b)^2-4(a+1)(-c)>0$           ⇔ $b^2+4c(a+1)>0$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} $y=g(x)$は,2点$(-1,1),(2,4)$を通るとき,    $1=-a-b+c・・・・・\textcircled{\scriptsize1}$    $4=-4a+2b+c・・・・・\textcircled{\scriptsize2}$   となる。$y=f(x)$は2点$(-1,1),(2,4)$を通るので題意をみたす。   $\textcircled{\scriptsize1},\textcircled{\scriptsize2}$より, $-3=3a-3b ⇔ b=a+1$・・・・・{\sf ((答))}          $c=a+b+1 ⇔ c=2a+2$・・・・・{\sf ((答))} {\sf (3)} {\sf (2)}の結果より,$y=g(x)=-ax^2+(a+1)x+2a+2$となる。    $y=f(x)$と$y=g(x)$を連立すると,{\sf (1)}の$(*)$より,          $(a+1)x^2-(a+1)x-(2a+2)=0$    となる。この2つの解を$\alpha ,\beta$とおくと,解と係数の関係より,          $\alpha +\beta=1, \alpha \beta=-2・・・・・\textcircled{\scriptsize3}$     となるので,2つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる面積を$S$とおくと,          $S=\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta}{-ax^2+(a+1)x+2a+2-x^2}dx$           $=\displaystyle - \int_{\alpha }^{\beta}{(a+1)x^2-(a+1)x-(2a+2)}dx$           $=\displaystyle \frac{a+1}{6}(\beta-\alpha )^3・・・・・\textcircled{\scriptsize4}$    となる。ここで,$(\beta-\alpha )^3={(\alpha +\beta)^2-4\alpha \beta}^{\frac{3}{2}}$なので,$\textcircled{\scriptsize3}$より           $(\beta-\alpha )^3={1^2-4(-2)}^{\frac{3}{2}}$              =$9^{\frac{3}{2}}$              =$27・・・・・\textcircled{\scriptsize5}$    したがって,$\textcircled{\scriptsize4},\textcircled{\scriptsize5}$より,$S=\displaystyle \frac{9}{2}(a+1)$となり,これが9に等しいので,           $\displaystyle \frac{9}{2}(a+1)=9 ⇔ a=1$    最後に,$a=1$を{\sf (2)}の結果に代入すると,求める$b,c$の値は,           $b=1+1=2, c=2・1+2=4$    以上より,求める$a,b,c$の値は,$a=1,b=2,c=4$・・・・・{\sf ((答))} {\sf ((注)) 解と係数の関係と面積公式について}         \input{_wtpic2003.tex} ~  2つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$を連立すると,方程式           $f(x)=g(x) ⇔ f(x)-g(x)=0・・・・・(1)$  となります。(1)が2次方程式となるとき,上図を満たすとき,(1)が異なる2つの実  数解をもてばよいので,((1)の判別式)>0となればよいことがわかります。                              {\sf ⇒ (1)の解答の方針}   また,(1)が異なる2つの実数解を持つことから,2つの解を$\alpha ,\beta$とおくと,             $\alpha+\beta, \alpha\beta$・・・・・(2)  の値が求まります。   また,$f(x)-g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$と因数分解できます(ここでは、$x^2$の係数を1  とおいて考えます。)。 ~ ~   次に,$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる面積を$S$とおくと,       $S=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{f(x)-g(x)}dx=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$                   $=\displaystyle -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3・・・・・(3)$  となります。   ここで,$\beta-\alpha$の値を(2)から求めます。           $\beta-\alpha={(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}^{\frac{1}{2}}・・・・・(4)$  となります。   したがって,(3),(4)より         $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{f(x)-g(x)}dx=\displaystyle -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$                  $=\displaystyle \frac{1}{6}{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}^{\frac{3}{2}}$  となります。 {\sf ⇒ (3)の解答の方針} \end{document}