京都府立医科大学 前期 2006年度 問2

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解答作成者: Go

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入試情報

大学名 京都府立医科大学
学科・方式 前期
年度 2006年度
問No 問2
学部 医学部
カテゴリ 図形と計量 ・ ベクトル
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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% % すうじあむはアップするファイルで完結したTeXソースでないといけない. % このひな形で表示確認をしよう. % \documentclass[b5paper,fleqn,papersize]{jsarticle} %=========================================================== % ■余白の設定 B5 %----------------------------------------------------------- \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} % 左マージン \setlength{\topmargin}{-15.4truemm} % 上マージン \setlength{\textwidth}{14.2cm} % B5 サイズ用 \setlength{\headheight}{2zw} \setlength{\headsep}{2zw} \setlength{\textheight}{217mm} %=========================================================== \usepackage[dvipdfm]{graphicx} \usepackage{wrapfig} % \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,cases} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}% すうじあむはcasesが使えない? \usepackage{multicol} \usepackage{ascmac} \usepackage{fancybox} \usepackage{framed} \usepackage{ifthen} \usepackage{setspace} % setspaceパッケージのインクルード \usepackage{amssymb}% ≒を表示するために必要 \usepackage{comment}% コメント \usepackage{booktabs} \usepackage{ascmac} % \usebackage{eclbkbox}% すうじあむはこれもダメ \usepackage{itembbox} % \usepackage{ custom_suseum}% すうじあむ %========================================================= %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % enumerate の自動ラベルの変更 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\labelenumi{(\theenumi)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 増減表の矢印 % http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/kumazawa/tex/arrow.html % % $\cvinc$ increase % $\ccinc$ concavity 凹状の % $\cvdec$ convex 凸形の % $\ccdec$ decrease % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ccinc}{\ifx\@currsize\small \setlength{\unitlength}{1.1pt} \begin{picture}(10,10)(1,2) \put(1,2){\line(0,1){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[lt]} \put(5,9){\vector(1,0){4}} \end{picture}\else \setlength{\unitlength}{1.2pt} \begin{picture}(10,10)(1,2) \put(1,2){\line(0,1){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[lt]} \put(5,9){\vector(1,0){4}} \end{picture}\fi} \newcommand{\cvinc}{\ifx\@currsize\small \setlength{\unitlength}{1.1pt} \begin{picture}(10,10)(2,1) \put(2,1){\line(1,0){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[rb]} \put(9,5){\vector(0,1){4}} \end{picture}\else \setlength{\unitlength}{1.2pt} \begin{picture}(10,10)(2,1) \put(2,1){\line(1,0){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[rb]} \put(9,5){\vector(0,1){4}} \end{picture}\fi} \newcommand{\ccdec}{\ifx\@currsize\small \setlength{\unitlength}{1.1pt} \begin{picture}(10,10)(2,1) \put(2,9){\line(1,0){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[rt]} \put(9,5){\vector(0,-1){4}} \end{picture}\else \setlength{\unitlength}{1.2pt} \begin{picture}(10,10)(2,1) \put(2,9){\line(1,0){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[rt]} \put(9,5){\vector(0,-1){4}} \end{picture}\fi} \newcommand{\cvdec}{\ifx\@currsize\small \setlength{\unitlength}{1.1pt} \begin{picture}(10,10)(1,0) \put(1,8){\line(0,-1){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[lb]} \put(5,1){\vector(1,0){4}} \end{picture}\else \setlength{\unitlength}{1.2pt} \begin{picture}(10,10)(1,0) \put(1,8){\line(0,-1){3}} \put(5,5){\oval(8,8)[lb]} \put(5,1){\vector(1,0){4}} \end{picture}\fi} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %====================================================================== \newcommand{\解説}{\noindent\ovalbox{\bf 解説}\hspace{0.5em}} \newcommand{\解答}{\noindent\fbox{\bf 解答}\hspace{0.5em}} \newcommand{\別解}{\noindent\fbox{\bf 別解}\hspace{0.5em}} %====================================================================== %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %■ベクトルの矢印の高さを揃える定義 % \overrightarrow の矢印の高さを揃える % \vec, \Vec で定義する %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\vec#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut {\rm #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=========================================================== % ■二重根号 %----------------------------------------------------------- \def\tsqrt#1{\textstyle\sqrt{#1}} %=========================================================== %%% 平行 // の記号%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\para{% \setlength{\unitlength}{1pt}% \thinlines % \begin{picture}(10, 12)% \put(1,0){/}% \put(4,0){/}% \end{picture}% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %■ 答えを太文字 \newcommand{\kotae}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}} % \def\kotae#1{\mbox{\boldmath $#1$}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=========================================================== % ■枠囲み %----------------------------------------------------------- \newcommand{\枠囲}[1]{\,\fboxsep1pt\fbox{ #1 }\,}% 文章中でも数式中でも使える? % \newcommand{\枠}[1]{\fboxsep1pt\fbox{ #1 }\,} %=========================================================== %=========================================================== % ■≦と≧の定義 %----------------------------------------------------------- \def\le{\leqq} \def\ge{\geqq} \newcommand{\LEQQ}{\leqq} \newcommand{\GEQQ}{\geqq} % \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} % \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} % \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ % \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} % エラーになる。理由はよく解らん。 %=========================================================== %=========================================================== % ■行列 2×2 %----------------------------------------------------------- \newcommand{\matrixTT}[4]{ \begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{pmatrix} } %=========================================================== %=========================================================== % ■行列 3×3 %----------------------------------------------------------- \newcommand{\matrixTTT}[9]{ \begin{pmatrix} #1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6\\ #7 & #8 & #9 \end{pmatrix} } %=========================================================== %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % ■ 3*1行列の定義 \newcommand{\matrixthreeone}[3]{ \left(\begin{array}{c} #1\\ #2\\ #3 \end{array}\right) } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=========================================================== % ■角括弧 複数行 #1 は横幅%,#2は内容 % %----------------------------------------------------------- \newcommand{\角括弧}[2]{% $% \left[ \begin{tabular}{@{}p{.#1\linewidth}}#2\end{tabular} \right]% $% } %=========================================================== %=========================================================== % ■丸括弧 複数行 #1 は横幅%,#2は内容 %----------------------------------------------------------- \newcommand{\丸括弧}[2]{% $% \left( \begin{tabular}{@{}p{.#1\linewidth}}#2\end{tabular} \right)% $% } %=========================================================== %=========================================================== % ■丸囲み数字 ①とか %----------------------------------------------------------- \newcommand{\tyoMaru}[1]{\mbox{{\normalsize \textcircled{\scriptsize #1}}}} %=========================================================== %=========================================================== % ■ 微分 df/dt %----------------------------------------------------------- \newcommand{\dd}[2]{% \dfrac{{\rm d}#1}{{\rm d}#2}% } %=========================================================== %=========================================================== % ■ ∫記号のdisplaystyleマクロ %----------------------------------------------------------- % \newcommand{\dint}{\displaystyle\int}% emathと干渉しないように\defで定義 \def\dint{\displaystyle\int} %=========================================================== %=========================================================== % ■ Σ記号のdisplaystyleマクロ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum} %=========================================================== %=========================================================== % ■ lim記号のdisplaystyleマクロ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim} %=========================================================== %=========================================================== % ■ nCr マクロ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\nCr}[2]{% {}_{#1}\mathrm{C}_{#2}% } %=========================================================== %=========================================================== % ■ 証明終了記号 ■ %----------------------------------------------------------- \newcommand{\■}{{\tiny \text{■}}} %=========================================================== \begin{document} %%%%% ■ 本文開始 ■ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{FRAME} $xyz$座標空間において,原点をOとし, 3点A$(6,\ 0,\ 0)$,B$(0,\ 6,\ 0)$,C$(0,\ 0,\ 6)$をとる. OA,OB,OCを辺にもつ立方体を$K$とし,3点C,D$(0,\ 6,\ 2)$,E$(3,\ 6,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とする.このとき,立方体$K$の内部にある平面$\alpha$の部分の面積を求めよ. \end{FRAME} {\footnotesize \解答 平面$\alpha$と立方体$K$の共通部分の面積を求めれば良い. 平面$\alpha$は,$\Vec{DC}$と$\Vec{DE}$で張られているので, $\Vec{OC}+t\Vec{DE}=\Vec{OC}+\Vec{CF}=\Vec{OF}$ となる点Fで$K$の辺と交わる.同様のことを繰り返すと,図のようにF,Gという点をとることができる. \begin{center} \input{1.tex} \hspace{2em} \input{2.tex} \end{center} DE$\para$CF,CD$\para$FGなのでF$(6,\ 0,\ 2)$,G$(6,\ 3,\ 0)$であることが分かる. また同様に,CF,CDの延長線と座標軸との交点をそれぞれH,Iとすると,H$(9,\ 0,\ 0)$,I$(0,\ 9,\ 0)$である. \begin{minipage}[t]{.6\linewidth} \vspace{0mm} \begin{align*} {\rm CH}&={\rm CI}=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}, & {\rm IH}&=\sqrt{9^2+9^2}=9\sqrt{2},\\ {\rm FH}&={\rm FG}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, & {\rm GH}&=3\sqrt{2},\\ {\rm DE}&={\rm DI}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, & {\rm EI}&=3\sqrt{2} \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{.3\linewidth} \vspace{0mm} \input{3.tex} \vspace{2em} \end{minipage} \\ であるので,$\triangle$CHIは図のような2等辺三角形になる.この底辺をHIとすると高さが$\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(\frac{9\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{153}{2}}=\dfrac{3\sqrt17}{\sqrt{2}}$であるから, $\triangle$CHIの面積は$\dfrac{27\sqrt{17}}{2}$である.$\triangle$FGHと$\triangle$DEIは合同であり,また$\triangle$CHIと相似であるので, これらの面積は$\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$とわかる. したがって,求める面積は$\triangle{\rm CHI}-\triangle{\rm FGH}-\triangle{\rm DEI}=\dfrac{21\sqrt{17}}{2}$である. \解説 \begin{itemize} \item 点Fなどの座標は以下のようにしても求められる. Fは平面CDE上の点なので,$s$,$t$を実数として, \[\Vec{OF}=(1-s-t)\Vec{OC}+s\Vec{OD}+t\Vec{OE}\] またFはAを通り$z$軸に平行な直線上にあるから,$u$を実数,$\vec{e_z}=(0,\ 0,\ 1)$として \[\Vec{OF}=\Vec{OA}+u\vec{e_z}\] これら2式の成分を比較して,$s$,$t$,$u$を求める. % \item 平面の方程式を用いてFなどの座標を求めても良い. % \item 面積については正射影の考え方を用いて求めることもできる.このときには,平面$\alpha$の法線ベクトルと$z$のなす角を考えて,$xy$平面と平面$\alpha$のなす角を求める. \end{itemize} } %%%%%%% ■ 本文終了 ■ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}