一橋大学 前期 2012年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2012年度
問No 問4
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 図形と方程式 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{4}} $xyz$空間内の平面$z=2$上に点Pがあり,平面$z=1$上に点Qがある.直線PQと$xy$平面の交点をRとする. \BK{\kakkoichi} P$(0,\,0,\,2)$とする.点Qが平面$z=1$上で点$(0,\,0,\,1)$を中心とする半径1の円周上を動くとき,点Rの軌跡の方程式を求めよ. \EK \BK{\kakkoni} 平面$z=1$上に4点A$(1,\,1,\,1)$,B$(1,\,-1,\,1)$,C$(-1,\,-1,\,1)$,D$(-1,\,1,\,1)$をとる.点Pが平面$z=2$上で点$(0,\,0,\,2)$を中心とする半径1の円周上を動き,点Qが正方形ABCDの周上を動くとき,点Rが動きうる領域を$xy$平面上に図示し,その面積を求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad 点Q$(\cos\theta,\,\sin\theta,\,1)$とおける.点Rは直線PQ上にあるので,実数$t$を用いて \[\Vec{OR}=\Vec{OP}+t\Vec{PQ}\] \[\hphantom{\Vec{OR}}=(0,\,0,\,2)+t(\cos\theta,\,\sin\theta,\,-1)\] \[\hphantom{\Vec{OR}}=(t\cos\theta,\,t\sin\theta,\,2-t)\] と表せる.点Rは$xy$平面上にもあるので,$z$座標は0だから\quad $t=2$\\ ゆえにR$(2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0)$となり,点Rは$xy$平面上で原点中心,半径2の円周上を動くので,求める軌跡の方程式は\quad $\bd{x^2+y^2=4,\,z=0}$ \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{hitotsubashi2012-4kaitou1.eps}{4cm}{30}% \kakkonib\quad 点P$(\cos\theta,\,\sin\theta,2)$とおける.また点Qが線分AB上にあるときを考えると,点Q$(1,\,k,\,1)(-1\leq k \leq 1)$とおける.$\kakkoichi$と同様に考えて,$\Vec{PR}=2\Vec{PQ}$であるから \[\Vec{OR}=\Vec{OP}+2\Vec{PQ}\] \[\hphantom{\Vec{OR}}=(\cos\theta,\,\sin\theta,\,2)+2(1-\cos\theta,\,k-\sin\theta,\,-1)\] \[\hphantom{\Vec{OR}}=(2-\cos\theta,\,2k-\sin\theta,\,0)\] よって点Rの座標を$(x,\,y,\,0)$とおくと \[x=2-\cos\theta,\,y=2k-\sin\theta\] \[\cos\theta=2-x,\,\sin\theta=2k-y\] $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$に代入すると \[(x-2)^2+(y-2k)^2=1\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{hitotsubashi2012-4kaitou2.eps}{1.1cm}{30}% ゆえに$k$を固定すると,点Rは$xy$平面上で中心$(2,\,2k,\,0)$,半径1の円上を動くので,$k$を$-1\leq k \leq1$の範囲で動かすと点Rが動く図形は右図の網目部分のようになる(境界線を含む). \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{hitotsubashi2012-4kaitou3.eps}{3.8cm}{30}% \quad 点Qが線分BC,CD,DA上にある場合も同様に考えると,対称性より点Rが動く図形の全体は$xy$平面上で右図の網目部分のようになる(境界線含む).この図形の面積は\\ \hspace{3zw}\includegraphics[width=55mm,clip]{hitotsubashi2012-4kaitou4.eps} \[=1^2\pi+1\cdot4\times4+4^2-2^2\] \[=\bd{28+\pi}\] \newpage \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{hitotsubashi2012-4kaitou5.eps}{4.2cm}{30}% {\par \leftskip=1zw \rightskip=14zw \h\chu\quad 平面$z=0,\,z=1,\,z=2$はそれぞれ平行で,隣り合う2平面の距離はそれぞれ1なので,点Pを固定したとき,点Rが動く図形は点P を中心として点Qが動く図形を2倍に相似拡大したものになります.これを利用すると,例えば$\kakkoichi$では右図のように点Rは原点中心,半径2の円上を動くことがすぐに分かります.$\kakkoni$も点Pを固定した状態で点Rの軌跡を求め,続いて点Pを動かせば同様に説明できますが,解答のように式を用いて処理する方が書きやすいと思います.図はあくまで補助的に用いるのがいいでしょう.\par} \end{document}