一橋大学 前期 2012年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2012年度
問No 問3
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 式と証明 ・ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{3}} 定数$a,\,b,\,c,\,d$に対して,平面上の点$(p,\,q)$を点$(ap+bq,\,cp+dq)$に移す操作を考える.ただし,$(a,\,b,\,c,\,d)\neq(1,\,0,\,0,\,1)$である.$k$を0でない定数とする.放物線$C:y=x^2-x+k$上のすべての点は,この操作によって$C$上に移る. \BK{\kakkoichi} $a,\,b,\,c,\,d$を求めよ. \EK \BK{\kakkoni} $C$上の点Aにおける$C$の接線と,点Aをこの操作によって移した点A$'$における$C$の接線は,原点で直交する.このときの$k$の値および点Aの座標をすべて求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad $C$上に点$(p,\,q)$をとると\quad $q=p^2-p+k\Cdots\maruichi$\\ またこのとき点$(ap+bq,\,cp+dq)$も$C$上にあるので \[cp+dq=(ap+bq)^2-(ap+bq)+k\] \[cp+dq=ap^2+2abpq+b^2q^2-ap-bq+k\] $\maruichi$を代入すると \[cp+d(p^2-p+k)=a^2p^2+2abp(p^2-p+k)+b^2(p^2-p-k)^2\] \[\hspace{21zw}-ap-b(p^2-p+k)+k\Cdots\maruni\] これが任意の$p$について成り立てばよく,右辺の$p^4$の係数は$b^2$,左辺の$p^4$の係数は0であるから\quad $b^2=0 \Yueni b=0$\\ このとき$\maruni$より\quad $dp^2+(c-d)p+dk=a^2p^2-ap+k$\\ $p$の恒等式とみて係数を比べて\quad $d=a^2,\,c-d=-a,\,dk=k$\\ $k\neq0$に注意すると$d=1$となり\quad $a^2=1,\,c=-a+1$\\ $a=1$のとき$c=0$となり,$(a,\,b,\,c,\,d)\neq(1,\,0,\,0,\,1)$に反し不適.\\ $a=-1$のとき$c=2$となり\quad $\bd{(a,\,b,\,c,\,d)=(-1,\,0,\,2,\,1)}$ \h\kakkonib\quad 点A$(p,\,q)$とおくと,これは$\maruichi$を満たし,さらに$\kakkoichi$の結果より点A$'(-p,\,2p+q)$となる.$C$の式より$y'=2x-1$となるので,点A,A$'$における$C$の接線の方程式はそれぞれ \[y=(2p-1)(x-p)+q,\,y=(-2p-1)(x+p)+2p+q\] $\maruichi$を代入して整理すると \[y=(2p-1)x-p^2+k,\,y=-(2p+1)x-p^2+k\] この2直線がともに原点を通り,さらに2直線が直交することから \[-(2p-1)(2p+1)=-1,\,-p^2+k=0\] 第1式より$p=\pm\dfrac{\dsqrt{2}}{2}$となり,第2式から\quad $\bd{k=\dfrac{1}{2}}$\\ これらを$\maruichi$に代入すると,点Aの座標は\quad $\displaystyle\bd{\SK{\pm\frac{\dsqrt{2}}{2},\,1\mp\frac{\dsqrt{2}}{2}}}\;\textbf{(複号同順)}$ \end{document}