大阪大学 前期理系 2011年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2011年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \def\Sp{{\mathrm{S}}} \def\Op{{\mathrm{O}}} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  正数 $r$ に対して, $a_1 = 0,\enskip a_2 = r$ とおき, 数列 $\{a_n\}$ を次の漸化式で定める. \[ a_{n+1} = a_n + r_n(a_n - a_{n-1}) \quad (n = 2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] ただし $a_n$ と $a_{n-1}$ から漸化式を用いて $a_{n+1}$ を決める際には 硬貨を投げ,\smallskip 表がでたとき $r_n = \dfrac{r}{2}$, 裏がでたとき $r_n = \dfrac{1}{2r}$ とする.\smallskip ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする. $a_n$ の期待値を $p_n$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  $p_3$ および $p_4$ を, $r$ を用いて表せ. \item[(2)]  $n \geqq 3$ のときに $p_n$ を, $n$ と $r$ を用いて表せ. \item[(3)]  数列 $\{p_n\}$ が収束するような正数 $r$ の範囲を求めよ. \item[(4)]  $r$ が(3)で求めた範囲を動くとき, 極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} p_n$ の最小値を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $r_1 = r$ とし, \begin{align*} a_{n+1} = a_n + r_n(a_n - a_{n-1}) \quad(n \geqq 2) \tag*{$\cdott(*)$} \end{align*} とおく.$(*)$ より \begin{align*} a_3 = a_2 + r_2(a_2 - a_1) = r_1(1 + r_2) = \left\{ \begin{array}{ll} r\bigg(1 + \dfrac{r}{2} \bigg) & \mbox{\footnotesize $\left(確率\>\dfrac{1}{2} \right)$} \\[4.4mm] r\bigg(1 + \dfrac{1}{2r} \bigg) & \mbox{\footnotesize $\left(確率\>\dfrac{1}{2} \right)$} \end{array} \right. \end{align*} だから, \begin{align*} p_3 = \frac{1}{2} \cdot r\!\left(1 + \frac{r}{2} \right) + \frac{1}{2} \cdot r\!\left(1 + \frac{1}{2r} \right) = {\color{red}{\boldsymbol{\frac{r^2}{4} + r + \frac{1}{4}}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおく.$(*)$ より \begin{align*} b_n = r_nb_{n-1} \quad(n \geqq 2),\quad b_1 = a_2 - a_1 = r = r_1 \end{align*} よって $b_n = r_nr_{n-1}r_{n-2} \cdots r_1$. これより, \begin{align*} a_4 = b_3 + b_2 + b_1 + {}\underbrace{\,a_1\,}_{0}{} = r_3r_2r_1 + r_2r_1 + r_1 \end{align*} $r_nr_{n-1} \cdots r_1$ の期待値を $E(r_nr_{n-1} \cdots r_1)$ のように記せば, \begin{align*} p_4 &= E(r_3r_2r_1 + r_2r_1 + r_1) \\ &= E(r_3r_2r_1) + E(r_2r_1) + E(r_1) \quad \text{\footnotesize $(\,\because\,\,\,E(\enskip)の線型性)$} \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} $r_1 = r$ となる確率は1だから $E(r_1) = r$. $n \geqq 2$ のとき $0 \leqq j \leqq n-1$ に対して, %$r_n = \dfrac{r}{2}$ または $r_n = \dfrac{1}{2r}$ となる確率は %ともに$\dfrac{1}{2}$だから \begin{align*} r_nr_{n-1}r_{n-2} \cdots r_2r_1 = r\bigg(\frac{r}{2} \bigg)^{\!\! j} \bigg(\frac{1}{2r} \bigg)^{\!\! n-1-j} = R_j \enskip\mbox{\footnotesize (とおく)} % \quad (0 \leqq j \leqq n-1) \end{align*} のいずれか. $r_nr_{n-1} \cdots r_1 = R_j$ となる確率を $q_j$ とすれば, \begin{align*} q_j = {}_{n-1}\C_j \left(\frac{1}{2} \right)^{\!\! j} \left(\frac{1}{2} \right)^{\!\! n-1-j} = \frac{{}_{n-1}\C_j}{2^{n-1}} \end{align*} したがって, \begin{align*} E(r_nr_{n-1}r_{n-2} \cdots r_2r_1) &= \sum_{j=0}^{n-1} R_jq_j = \sum_{k=0}^{n-1} r\bigg(\frac{r}{2} \bigg)^{\!\! j} \bigg(\frac{1}{2r} \bigg)^{\!\! n-1-j} \cdot \frac{{}_{n-1}\C_j}{2^{n-1}} \\[1mm] &= r\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}\C_j \bigg(\frac{r}{4} \bigg)^{\!\! j} \bigg(\frac{1}{4r}\bigg)^{\!\!n-1-j} \\[1mm] &= r\!\left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r} \right)^{\!\! n-1} \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{2}より \begin{align*} p_4 &= r\!\left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r} \right)^{\!\! 2} + r\!\left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r} \right) + r \\[1mm] &= {\color{red}{\boldsymbol{\frac{r^3}{16} + \frac{r^2}{4} + \frac{9r}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16r}}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $a_n = \sum\limits_{k=1}^{n-1} b_k$ だから\MARU{2}および $E(\enskip)$ の 線型性より, \begin{align*} p_n &= E\!\left(\sum_{k=1}^{n-1} b_k \right) = \sum_{k=1}^{n-1} E(b_k) = \sum_{k=1}^{n-1} E(r_kr_{k-1}r_{k-2} \cdots r_2r_1) \\[1mm] &= \sum_{k=1}^{n-1} r\!\left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r} \right)^{\!\! k-1} \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} $c = \dfrac{r}{4} + \dfrac{1}{4r}$ とおく. $c = 1$ となるときの $r$ の値は, \begin{gather*} \frac{r}{4} + \frac{1}{4r} = 1 \qquad r^2 - 4r + 1 = 0 \qquad \therefore \,\,\, r = 2 \pm \sqrt{\vphantom{b} 3} \end{gather*} だから $r = 2 \pm \sqrt{\vphantom{b} 3}$ のとき\MARU{3}から, \begin{align*} p_n = (n-1)r \end{align*} $r \neq 2 \pm \sqrt{\vphantom{b} 3}$ のとき\MARU{3}から, \begin{align*} p_n &= \sum_{k=1}^{n-1}rc^{k-1} = r \cdot \frac{1 - c^{n-1}}{1 - c} = r \cdot \dfrac{1}{\> \raisebox{-2.8mm}{$1 - \dfrac{r}{4} - \dfrac{1}{4r}$} \>} \left\{ 1 - \left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r}\right)^{\!\! n-1} \right\} \\[1mm] &= \frac{4r^2}{\>4r - r^2 - 1\>} \left\{ 1 - \left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r} \right)^{\!\! n-1} \right\} \end{align*} 以上を整理して, \begin{align*} \hspace*{-2.2zw} p_n = {\color{red}{\boldsymbol{ \left\{ \begin{array}{ll} (2 \pm \sqrt{\vphantom{b} 3}\,)(n - 1) & (r = 2 \pm \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) \\[3.6mm] \displaystyle \frac{4r^2}{\>4r - r^2 - 1\>} \left\{ 1 - \left(\frac{r}{4} + \frac{1}{4r} \right)^{\!\! n-1} \right\} & (r \neq 2 \pm \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) \end{array} \right. }}} \enskip\cdotssp(答) \end{align*} \item  $p_n$ は初項 $r$,公比 $c$ の無限等比級数だから, \begin{align*} \{p_n\}が収束する \enskip &\Longleftrightarrow \,\,\, 0 < c = \frac{r}{4} + \frac{1}{4r} < 1 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, r^2 - 4r + 1 < 0,\quad r > 0 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, {\color{red}{\boldsymbol{2 - \sqrt{\vphantom{b} 3} < r < 2 + \sqrt{\vphantom{b} 3}}}} \tag*{$\Ans\enskip\MARU{4}$} \end{align*} \item  $\lim\limits_{n \to \infty} p_n = P$ とおく. (2)の結果より, \begin{align*} P = \frac{4r^2}{4r - r^2 - 1} = \frac{4} {\> \raisebox{-2.8mm}{$\dfrac{4}{r} - 1 - \dfrac{1}{r^2}$} \>} = \frac{4} {\> \raisebox{-4mm}{$-\left(\dfrac{1}{r} - 2 \right)^{\!\! 2} + 3$} \>} \end{align*} $\dfrac{1}{r} = 2$ すなわち $r = \dfrac{1}{2}$ のとき $P$ は最小になり, \begin{align*} (Pの最小値) = {\color{red}{\boldsymbol{\frac{4}{3}}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}