大阪大学 文系 2010年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2010年度
問No 問2
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 2^x + 3^y = 43 \smallskip \\ \log_2 x - \log_3 y = 1 \end{array} \right. \] を考える. \begin{enumerate} \item[(1)]  この連立方程式を満たす自然数 $x,\enskip y$ の組を求めよ. \item[(2)]  この連立方程式を満たす正の実数 $x,\enskip y$ は, (1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item \hspace*{2.55zw}$ 2^x + 3^y = 43 \enskip\cdott\MARU{1}, \hfil \log_2 x - \log_3 y = 1 \enskip\cdott\MARU{2}$ %\vskip 0.5zw \noindent% とする.  $3^4 = 81 > 43$ だから\MARU{1}より $y \leqq 3$ が必要.  $y = 1$ のとき\MARU{1}より $2^x = 40$. これをみたす自然数 $x$ は存在しない.  $y = 2$ のとき\MARU{1}より $2^x = 34$. これをみたす自然数 $x$ は存在しない.  $y = 3$ のとき\MARU{1}より $2^x = 16 = 2^4$. よって $x = 4$ を得る.  $(x,\ y) = (4,\ 3)$ のとき $\log_2 4 - \log_3 3 = 2 - 1 = 1$ だから \MARU{2}をみたす.  以上より \begin{align*} (x,\ y) = {\color{red}{\boldsymbol{(4,\ 3)}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $0 < x < 4$ ならば\MARU{1}より, \begin{gather*} 3^y = 43 - 2^x > 43 - 2^4 = 27 \qquad \therefore \,\,\, y > 3 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} \MARU{2}より, \begin{gather*} \log_3 y = \log_2 x - 1 < \log_2 4 - 1 = 1 \qquad \therefore \,\,\, y < 3 \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} \MARU{3}と\MARU{4}は相矛盾する. よって $0 < x < 4$ となることはない.  $x > 4$ ならば\MARU{1}より \begin{gather*} 3^y = 43 - 2^x < 43 - 2^4 = 27 \qquad \therefore \,\,\, y < 3 \tag*{$\cdott\MARU{3}'$} \end{gather*} \MARU{2}より, \begin{gather*} \log_3 y = \log_2 x - 1 > \log_2 4 - 1 = 1 \qquad \therefore \,\,\, y > 3 \tag*{$\cdott\MARU{4}'$} \end{gather*} $\MARU{3}'$と$\MARU{4}'$は相矛盾する. よって $x > 4$ となることはない.  $x = 4$ ならば\MARU{1}より \begin{align*} 3^y = 43 - 2^4 = 27 \qquad \therefore \,\,\, y = 3 \end{align*} (1)より $(x,\ y) = (4,\ 3)$ は\MARU{1},\enskip\MARU{2}をみたす.  したがって連立方程式\MARU{1},\enskip\MARU{2}を みたす実数は $(x,\ y) = (4,\ 3)$ のみである.\\ \hfill ■ \end{enumerate} \end{document}