大阪大学 後期理系 1990年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1990年度
問No 問3
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\rr{{\rr}} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  点$\A(-1,\,\,0,\,\,0)$を中心とする半径 $r_1$ の球 $O_1$ の内部に, 点$\B(1,\,\,0,\,\,0)$を中心とする半径 $r_2$ の球 $O_2$ が含まれている. 球 $O_1$ に内接し, かつ球 $O_2$ に外接する球の中心P全体がつくる曲面を $S$ とする. \begin{enumerate} \item[(1)]  曲面 $S$ の$xy$平面による切り口 $C$ の$xy$平面上での方程式を求めよ. \item[(2)]  曲面 $S$ によって囲まれる部分の体積 $V$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $S$ の半径を $r$ とする. $S$ が $O_1$ に内接することから, \begin{gather*} \A\P = r_1 - r \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{gather*} $S$ が $O_2$ に外接することから, \begin{gather*} \B\P = r_2 + r \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{gather*} $\MARU{1}+\MARU{2}$より, \begin{gather*} \A\P + \B\P = r_1 + r_2 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*}  \MARU{3}より $C$ は焦点A,B,長軸 $r_1 + r_2$ の楕円である. $C$ の式を \begin{gather*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{gather*} とおけば, \begin{gather*} a = \frac{r_1 + r_2}{2} \\ a^2 - b^2 = 1 \qquad \therefore \,\,\, b^2 = a^2 - 1 = \left(\frac{r_1 + r_2}{2} \right)^{\!\! 2} - 1 \end{gather*} ゆえに $C$ の方程式は, \begin{gather*} \color{red}{\boldsymbol{ \frac{x^2}{\> \raisebox{-4mm}{$ \left(\dfrac{\mathstrut r_1 + r_2}{2} \right)^{\!\! 2} $}\>} + \frac{y^2} {\> \raisebox{-4mm}{$ \left(\dfrac{\mathstrut r_1 + r_2}{2} \right)^{\!\! 2} - 1 $} \>} = 1 }} \tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{1}$} \end{gather*} \item  $O_1,\enskip O_2$ は$x$軸に関して対称な図形だから, $V$ は $C$ に囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積に等しい. ゆえに,\\ \begin{minipage}{290pt} \begin{align*} V &= 2\pi\int_0^a y^2\,dx = 2\pi\int_0^a \left(b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2 \right) dx \\[1mm] &= 2\pi\LLL b^2x - \frac{b^2}{3a^2}x^3 \RRR_0^a = \frac{4\pi}{3}ab^2 \\[1mm] &= \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{r_1 + r_2}{2} \left\{\left(\frac{r_1 + r_2}{2} \right)^{\!\! 2} - 1 \right\} \\[1mm] &= \color{red}{\boldsymbol{ \frac{2\pi}{3}(r_1 + r_2) \left\{\left(\frac{r_1 + r_2}{2} \right)^{\!\! 2} - 1 \right\} }} \tag*{$\ans$} \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \hspace*{-4zw} %\input{osaka1990t3s_zu_3} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 19.0400, 19.6900)( 4.0000,-23.0900) % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 1352 1356 1352 2098 1352 2098 1352 2098 % \special{pn 8}% \special{ar 1352 1356 742 742 0.0000000 6.2831853}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 400 1356 2304 1356 % \special{pn 8}% \special{pa 400 1356}% \special{pa 2304 1356}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2304 1356}% \special{pa 2238 1336}% \special{pa 2252 1356}% \special{pa 2238 1376}% \special{pa 2304 1356}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1775 1356 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1776 1356 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 1775 1356 1775 1515 1775 1515 1775 1515 % \special{pn 8}% \special{ar 1776 1356 160 160 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 1 0 3 0 % 4 1251 1071 1368 1494 1368 1494 1368 1494 % \special{pn 13}% \special{ar 1252 1072 440 440 0.0000000 6.2831853}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1251 1071 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1252 1072 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1251 1071 1775 1356 % \special{pn 8}% \special{pa 1252 1072}% \special{pa 1776 1356}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1352 1356 1109 659 % \special{pn 8}% \special{pa 1352 1356}% \special{pa 1110 660}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1109 659 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1110 660 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1563 2309 1563 405 % \special{pn 8}% \special{pa 1564 2310}% \special{pa 1564 406}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1564 406}% \special{pa 1544 472}% \special{pa 1564 458}% \special{pa 1584 472}% \special{pa 1564 406}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1240 927 1240 980 2 0 % {\footnotesize P} \put(12.4000,-9.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1250 1426 1250 1480 2 0 % {\footnotesize A} \put(12.5000,-14.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1740 1436 1740 1490 2 0 % {\footnotesize B} \put(17.4000,-14.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1450 457 1450 510 2 0 % $y$ \put(14.5000,-5.1000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2210 1426 2210 1480 2 0 % $x$ \put(22.1000,-14.8000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1450 1287 1450 1340 2 0 % {\footnotesize O} \put(14.5000,-13.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % ELLIPSE 0 0 3 0 % 4 1563 1356 2013 1753 2013 1753 2013 1753 % \special{pn 20}% \special{ar 1564 1356 450 398 0.0000000 6.2831853}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1352 1356 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1352 1356 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 1790 2007 1790 2060 2 0 % {\scriptsize$O_1$} \put(17.9000,-20.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$O_1$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2167 944 2167 997 2 0 % {\scriptsize$O_1$} \put(21.6700,-9.9700){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$O_1$}}}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2187 1336 2308 1667 2103 690 1453 1077 % \special{pn 4}% \special{ar 2188 1336 352 352 3.4808140 4.5830835}% % STR 2 0 3 0 % 3 1240 1757 1240 1810 2 0 % {\scriptsize$C$} \put(12.4000,-18.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$C$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 700 1197 700 1250 2 0 % {\scriptsize$S$} \put(7.0000,-12.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$S$}}}% \end{picture}% \end{minipage} \end{enumerate} \end{document}