大阪大学 後期理系 2009年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 2009年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  以下の問いに答えよ \begin{enumerate} \item[(1)]  $\sqrt{\vphantom{b} 3}$ が無理数であることを証明せよ. \item[(2)]  $a,\enskip b$ を有理数とする. 多項式 $f(x) = x^2 + ax + b$ が $f(1 + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) = 0$ を満たすとき, $a,\enskip b$ を求めよ. \item[(3)]  $n$ を2以上の自然数とする. $g(x)$ は有理数を係数とする$n$次多項式で最高次の係数が1であるとする. $g(1 + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) = 0$ となるとき,\\ $g(1 - \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) = 0$ を示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\sqrt{\vphantom{b} 3}$ が有理数であると仮定して矛盾を導く. このとき \begin{align*} \sqrt{\vphantom{b} 3} = \frac{m}{n},\quad m,\enskip nは互いに素な整数 \end{align*} と書ける. \begin{gather*} \sqrt{\vphantom{b} 3}\,n = m \qquad \therefore \,\,\, 3n^2 = m^2 \end{gather*} よって $m^2$ は3の倍数だから $m$ 自身も3の倍数である. そこで $m = 3M \enskip(Mは整数)$ とおけば, \begin{gather*} 3n^2 = (3M)^2 = 9M^2 \qquad \therefore \,\,\, n^2 = 3M^2 \end{gather*} よって $n^2$ は3の倍数だから $n$ 自身も3の倍数である. ゆえに $m$ と $n$ は3を公約数にもち, 互いに素とした仮定に反する. したがって $\sqrt{\vphantom{b} 3}$ は無理数である. \hfill ■ \item  $f(1 + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) = 0$ より \begin{gather*} (1 + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,)^2 + a(1 + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) + b = 0 \\ \therefore \,\,\, 4 + a + b + (2 + a)\sqrt{\vphantom{b} 3} = 0 \end{gather*} もし $2 + a \neq 0$ ならば, \begin{gather*} \sqrt{\vphantom{b} 3} = -\frac{4 + a + b}{2 + a} = 有理数 \quad (\,\because\,\,\,a,\enskip bは有理数) \end{gather*} となり $\sqrt{\vphantom{b} 3}$ が無理数であることに矛盾. ゆえに, \begin{gather*} 2 + a = 0 \qquad \therefore \,\,\, a = \color{red}{\boldsymbol{-2}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} よって \begin{gather*} 4 + (-2) + b + 0\sqrt{\vphantom{b} 3} = 0 \qquad \therefore \,\,\, b = \color{red}{\boldsymbol{-2}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \newpage \item  有理数 $a,\enskip b$ に対して, $\overline{\mathstrut a + b\sqrt{\vphantom{b} 3}} = a - b\sqrt{\vphantom{b} 3}$ と定める.  $z = a + b\sqrt{\vphantom{b} 3},\enskip w = c + d\sqrt{\vphantom{b} 3} \enskip (a,\enskip b,\enskip c,\enskip dは有理数)$ とするとき, \begin{align*} \overline{\mathstrut z + w} &= \overline{\mathstrut (a + c) + (b + d)\sqrt{\vphantom{b} 3}} = (a + c) - (b + d)\sqrt{\vphantom{b} 3} \\ &= (a - b\sqrt{\vphantom{b} 3}\,) + (c - d\sqrt{\vphantom{b} 3}\,) = \overline{\mathstrut a + b\sqrt{\vphantom{b} 3}} + \overline{\mathstrut c + d\sqrt{\vphantom{b} 3}} \\ &= \overline{\mathstrut z} + \overline{\mathstrut w} \\ \overline{\mathstrut zw} &= \overline{\mathstrut (a + b\sqrt{\vphantom{b} 3}\,) (c + d\sqrt{\vphantom{b} 3}\,)} = \overline{\mathstrut (ac + 3bd) + (ad + bc)\sqrt{\vphantom{b} 3}} \\ &= (ac + bd) - (ad + bc)\sqrt{\vphantom{b} 3} = (a - b\sqrt{\vphantom{b} 3}\,) (c - d\sqrt{\vphantom{b} 3}\,) \\ &= \overline{\mathstrut z} \cdot \overline{\mathstrut w} \end{align*} また,$\overline{\mathstrut a} = a$ である.  いま,$z = 1 + \sqrt{\vphantom{b} 3}$ とし, \begin{gather*} g(x) = x^n + p_{n-1}x^{n-1} + p_{n-2}x^{n-2} + \cdots + p_1x + p_0 \\ p_i\enskip (0 \leqq i \leqq n-1)\>は有理数 \end{gather*} とおく. $g(z) = 0$ より, \begin{gather*} z^n + p_{n-1}z^{n-1} + p_{n-2}z^{n-2} + \cdots + p_1z + p_0 = 0 \\ \overline{\mathstrut z^n + p_{n-1}z^{n-1} + p_{n-2}z^{n-2} + \cdots + p_1z + p_0 = 0 } = \overline{\mathstrut 0} = 0 \\ \overline{\mathstrut z^n} + \overline{\mathstrut p_{n-1}z^{n-1}} + \overline{\mathstrut p_{n-2}z^{n-2}} + \cdots + \overline{\mathstrut p_1z} + \overline{\mathstrut p_0} = 0 \\ \overline{\mathstrut z^n} + p_{n-1} \cdot \overline{\mathstrut z^{n-1}} + p_{n-2} \cdot \overline{\mathstrut z^{n-2}} + \cdots + p_1 \cdot \overline{\mathstrut z} + p_0 = 0 \\ \therefore \,\,\, (\overline{\mathstrut \,z\,})^n + p_{n-1}(\overline{\mathstrut \,z\,})^{n-1} + p_{n-2}(\overline{\mathstrut \,z\,})^{n-2} + \cdots + p_1(\overline{\mathstrut \,z\,}) + p_0 = 0 \end{gather*} 最後の式は $g(\overline{\mathstrut \,z\,}) = 0$ すなわち % $g(1 - \sqrt{\vphantom{b} 3}\,) = 0$ であることを意味する. \hfill ■ \end{enumerate} \end{document}