大阪大学 前期理系 2010年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2010年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  関数 \[ f(x) = 2\log(1 + e^x) - x - \log 2 \] を考える. ただし,対数は自然対数であり, $e$は自然対数の底とする. \begin{enumerate} \item[(1)]  $f(x)$ の第2次導関数を $f''(x)$ とする. 等式 \[ \log f''(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ. \item[(2)]  定積分 $\displaystyle \int_0^{\log 2} (x - \log 2)e^{-f(x)}\,dx$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x) = 2\log(1 + e^x) - x - \log 2$ より \begin{gather*} f'(x) = 2 \cdot \frac{e^x}{1 + e^x} - 1 = \frac{e^x - 1}{1 + e^x} = 1 - \frac{2}{1 + e^x} \\[1mm] f''(x) = \frac{2e^x}{(1 + e^x)^2} \end{gather*} したがって, \begin{align*} \log f(x) = \log \frac{2e^x}{(1 + e^x)^2} = \log 2 + x - 2\log(1 + e^x) = -f(x) \tag*{■} \end{align*} \item  $I = \displaystyle \int_0^{\log 2} (x - \log 2)e^{-f(x)}\,dx$ とおく. \smallskip  (1)の結果より $e^{-f(x)} = e^{\log f''(x)} = f''(x)$. よって部分積分法により, \begin{align*} I &= \int_0^{\log 2} (x - \log 2)f''(x)\,dx \\[1mm] &= \ll (x - \log 2)f'(x) \rr_0^{\log 2} - \int_0^{\log 2} f'(x)\,dx \\ &= (\log 2)f'(0) - \ll f(x) \rr_0^{\log 2} \\ &= (\log 2)f'(0) - f(\log 2) + f(0) \end{align*} ここで, \begin{gather*} f'(0) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0 \\[1mm] f(\log 2) = 2\log(1 + 2) - \log 2 - \log 2 = 2\log 3 - 2\log 3 \\ f(0) = 2\log(1 + 1) - 0 - \log 2 = \log 2 \end{gather*} ゆえに, \begin{align*} I = -(2\log 3 - 2\log 2) + \log 2 = \color{red}{\boldsymbol{3\log 2 - 2\log 3}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}