センター試験 数学Ⅱ・B 2012年度 問4

問題へ戻る

解答作成者: 山田 慶太郎

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2012年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

全件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
問4の解答でなく問3の解答が間違って
掲載されています。
クロニャンコ さん 2012/01/20 21:22:47 報告
2
> クロニャンコさん

ご指摘ありがとうございます.
間違って投稿していました.
ご迷惑をおかけして申し訳ありません.
山田 慶太郎 さん 2012/01/22 13:55:06 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\ZK#1{\left|#1\right|} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ \quad 空間に異なる4点O,A,B,Cを,$\Vec{OA}\perp\Vec{OB}$,$\Vec{OB}\perp\Vec{OC}$,$\Vec{OC}\perp\Vec{OA}$となるようにとり,$\Vec{OA}=\vec{a}$,$\Vec{OB}=\vec{b}$,$\Vec{OC}=\vec{c}$とおく。さらに,3点D,E,Fを,$\Vec{OD}=\vec{a}+\vec{b}$,$\Vec{OE}=\vec{b}+\vec{c}$,$\Vec{OF}=\vec{a}+\vec{c}$となるようにとり,線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし,線分ADを$3:1$に内分する点をNとする。 \begin{shomon} $\Vec{OM}$,$\Vec{ON}$は,$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$を用いて \[\ake \Vec{OM}=\frac{1}{\FBA{ア}}\vec{b}+\vec{c},\,\Vec{ON}=\vec{a}+\frac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}\vec{b}\] と表される。 \end{shomon} \begin{shomon} 2直線FL,MNが交わることを確かめよう。$0<s<1$とし,線分FLを$s:(1-s)$に内分する点をPとする。$\Vec{OP}$は,$s$と$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$を用いて \[\ake \Vec{OP}=\SK{\FBA{エ}-\frac{s}{\FBA{オ}}}\vec{a}+s\vec{b}+\SK{\FBA{カ}-s}\vec{c}\] と表される。$s=\dfrac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}$のとき,$\Vec{MP}=\dfrac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}\Vec{MN}$となるので,M,N,Pは一直線上にある。よって,2直線FL,MNは交わることがわかる。 \end{shomon} \begin{shomon} 2直線FL,MNの交点をGとする。$\Vec{OG}$,$\Vec{GF}$は,$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$を用いて \[\ake \Vec{OG}=\frac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}\SK{\FBA{ス}\vec{a}+\FBA{セ}\vec{b}+\vec{c}}\] \[\ake \Vec{GF}=\frac{\FBAS{サ}}{\FBAS{シ}}\SK{\vec{a}-\FBAS{セ}\vec{b}+\FBA{ソ}\vec{c}}\] と表される。\\ \quad $\vabs{\vec{a}}=\dsqrt{5}$,$\vabs{\vec{b}}=4$,$\vabs{\vec{c}}=\dsqrt{3}$とする。このとき,$\vabs{\Vec{GF}}=\FBA{タ}$,$\vabs{\Vec{GM}}=2$となる。\\ \quad 次に,直線OC上に点Hをとり,実数$t$を用いて,$\Vec{OH}=t\vec{c}$と表す。$\Vns{GF}{GH}$,$\Vns{GM}{GH}$は,$t$を用いて \[\ake \Vns{GF}{GH}=\FBA{チ}t+\frac{\FBA{ツテ}}{\FBA{ト}}\Cdots\maruichi\ake\] \[\ake \Vns{GM}{GH}=2t+\frac{10}{3}\Cdots\maruni\ake\] と表される。\\ \quad さらに,$\Kaku{FGH}=\Kaku{MGH}$とする。このときの$t$の値を求めよう。$\vabs{\Vec{GF}}=\FBAS{タ}$,$\vabs{\Vec{GM}}=2$と$\Kaku{FGH}=\Kaku{MGH}$であることから \[\ake \Vns{GF}{GH}=\frac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}}\Vns{GM}{GH}\Cdots\marusan\ake\] が成り立つ。$\maruichi$,$\maruni$,$\marusan$から,$t=\dfrac{\FBA{ヌ}}{\FBA{ネ}}$である。 \end{shomon} \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad Lは線分BDの中点なので \[\Vec{OL}=\frac{\Vec{OB}+\Vec{OD}}{2}=\frac{\vec{b}+(\vec{a}+\vec{b})}{2}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\] 同様にして \[\Vec{OM}=\frac{\Vec{OC}+\Vec{OE}}{2}=\frac{\vec{c}+(\vec{b}+\vec{c})}{2}=\frac{1}{\bd{2}}\vec{b}+\vec{c}\GT{ア}\] \[\Vec{ON}=\frac{\Vec{OA}+3\Vec{OD}}{3+1}=\frac{\vec{a}+3(\vec{a}+\vec{b})}{4}=\vec{a}+\bd{\frac{3}{4}}\vec{b}\GT{イウ}\] \h\kakkonib\quad $0<s<1$とし,線分FLを$s:(1-s)$に内分する点をPとすると \[\Vec{OP}=(1-s)\Vec{OF}+s\Vec{OL}\] \[\hphantom{\Vec{OP}}=(1-s)(\vec{a}+\vec{c})+s\SK{\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}}\] \[\hphantom{\Vec{OP}}=\SK{\bd{1}-\frac{s}{\bd{2}}}\vec{a}+s\vec{b}+(\bd{1}-s)\vec{c}\GT{エ~カ}\Cdots\asta\] よって \[\Vec{MP}=\Vec{OP}-\Vec{OM}\] \[\hphantom{\Vec{MP}}=\SK{1-\frac{s}{2}}\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}-\SK{\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}}\] \[\hphantom{\Vec{MP}}=\SK{1-\frac{s}{2}}\vec{a}+\SK{s-\frac{1}{2}}\vec{b}-s\vec{c}\] \[\Vec{MN}=\Vec{ON}-\Vec{OM}=\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}-\SK{\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}}=\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}-\vec{c}\] ここで,$\Vec{MP}=k\Vec{MN}$を満たす実数$k$があるとすると \[\SK{1-\frac{s}{2}}\vec{a}+\SK{s-\frac{1}{2}}\vec{b}-s\vec{c}=k\vec{a}+\frac{k}{4}\vec{b}-k\vec{c}\] となる。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$はどの2つも平行ではなく,また同一平面上にない$\vec{0}$でないベクトルであるから,係数を比較して \[1-\frac{s}{2}=k,\,s-\frac{1}{2}=\frac{k}{4},\,-s=-k \Yueni s=\bd{\frac{2}{3}}\GT{キク},\,k=\frac{2}{3}\] よって$\Vec{MP}=\bd{\dfrac{2}{3}}\Vec{MN}\GT{ケコ}$となるので,M,N,Pは一直線上にあり,2直線FL,MNは交わることがわかる。 \h\kakkosanb\quad 2直線FL,MNの交点をGとすると,Gは$\asta$で$s=\dfrac{2}{3}$とおいたときのPに等しく \[\Vec{OG}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}=\bd{\frac{1}{3}}(\bd{2}\vec{a}+\bd{2}\vec{b}+\vec{c})\GT{サ~セ}\] \[\Vec{GF}=\Vec{OF}-\Vec{OG}=\vec{a}+\vec{c}-\frac{1}{3}(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}(\vec{a}-2\vec{b}+\bd{2}\vec{c})\GT{ソ}\] \[\Vec{GM}=\Vec{OM}-\Vec{OG}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}-\frac{1}{3}(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{6}(4\vec{a}+\vec{b}-4\vec{c})\] ここで,$\Vec{OA}\perp\Vec{OB}$,$\Vec{OB}\perp\Vec{OC}$,$\Vec{OC}\perp\Vec{OA}$より$\vns{a}{b}=\vns{b}{c}=\vns{c}{a}=0$であり,さらに$\vabs{\vec{a}}=\dsqrt{5}$,$\vabs{\vec{b}}=4$,$\vabs{\vec{c}}=\dsqrt{3}$のとき \[\vabs{\Vec{GF}}^2=\frac{1}{9}\SK{\vabs{\vec{a}}^2+4\vabs{\vec{b}}^2+4\vabs{\vec{c}}^2}=\frac{1}{9}(5+4\cdot16+4\cdot3)=9\] \[\yueni\quad \vabs{\Vec{GF}}=\bd{3}\GT{タ}\] 同様に \[\vabs{\Vec{GM}}^2=\frac{1}{36}\SK{16\vabs{\vec{a}}^2+\vabs{\vec{b}}^2+16\vabs{\vec{c}}^2}=\frac{1}{36}(16\cdot5+16+16\cdot3)=4\] \[\yueni\quad \vabs{\Vec{GM}}=2\] 次に,直線OC上に$\Vec{OH}=t\vec{c}(tは実数)$を満たすように点Hをとると \[\Vec{GH}=\Vec{OH}-\Vec{OG}=t\vec{c}-\frac{1}{3}(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{3}\CK{2\vec{a}+2\vec{b}+(1-3t)\vec{c}}\] よって \[\Vns{GF}{GH}=-\frac{1}{9}\CK{2\vabs{\vec{a}}^2-4\vabs{\vec{b}}^2+2(1-3t)\vabs{\vec{c}}^2}\] \[\hphantom{\Vns{GF}{GH}}=-\frac{1}{9}\CK{2\cdot5-4\cdot16+2(1-3t)\cdot3}=\bd{2}t+\bd{\frac{16}{3}}\GT{チ~ト}\Cdots\maruichi\] \[\Vns{GM}{GH}=\frac{1}{18}\CK{8\vabs{\vec{a}}^2+2\vabs{\vec{b}}^2-4(1-3t)\vabs{\vec{c}}^2}\] \[\hphantom{\Vns{GM}{GH}}=\frac{1}{18}\CK{8\cdot5+2\cdot16-4(1-3t)\cdot3}=2t+\frac{10}{3}\Cdots\maruni\] \quad さらに$\Kaku{FGH}=\Kaku{MGH}$のとき,$\cos\Kaku{FGH}=\cos\Kaku{MGH}$であるから \[\frac{\Vns{GF}{GH}}{\vabs{\Vec{GF}}\vabs{\Vec{GH}}}=\frac{\Vns{GM}{GH}}{\vabs{\Vec{GM}}\vabs{\Vec{GH}}}\] \[\yueni\quad \Vns{GF}{GH}=\frac{\vabs{\Vec{GF}}}{\vabs{\Vec{GM}}}\Vns{GM}{GH}=\bd{\frac{3}{2}}\Vns{GM}{GH}\GT{ナニ}\Cdots\marusan\] $\maruichi,\maruni$を$\marusan$に代入して \[2t+\frac{16}{3}=\frac{3}{2}\SK{2t+\frac{10}{3}} \Yueni t=\bd{\frac{1}{3}}\GT{ヌネ}\] \end{document}