センター試験 数学Ⅱ・B 2012年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2012年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ \quad 座標平面上で曲線$y=x^3$を$C$とし,放物線$y=x^2+px+q$を$D$とする。 \begin{shomon} 曲線$C$上の点P$(a,\,a^3)$における$C$の接線の方程式は \[\ake y=3a^{\,\FBD{ア}}x-\FBA{イ}a^{\,\FBD{ウ}}\] である。放物線$D$は点Pを通り,$D$のPにおける接線と,$C$のPにおける接線が一致するとする。このとき,$p$と$q$を$a$を用いて表すと \[\ake\begin{cases} p=3a^{\,\FBD{エ}}-\FBA{オ}a\\[5pt] q=\FBA{カキ}a^3+a^{\,\FBD{ク}} \end{cases} \Cdots\maruichi\ake \] となる。\\ \\ 以下,$p,\,q$は$\maruichi$を満たすとする。 \end{shomon} \begin{shomon} 放物線$D$が$y$軸上の与えられた点Q$(0,\,b)$を通るとき \[\ake b=\FBA{ケコ}a^3+a^{\,\FBD{サ}}\Cdots\maruni\ake\] が成り立つ。与えられた$b$に対して,$\maruni$を満たす$a$の値の個数を調べよう。\\ \quad そのために,関数 \[\ake f(x)=\FBAS{ケコ}x^3+x^{\,\FBDS{サ}}\] の増減を調べる。関数$f(x)$は,$x=\FBA{シ}$で極小値\FBA{ス}をとり,$x=\dfrac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}$で極大値$\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チツ}}$をとる。\\ \quad 関数$y=f(x)$のグラフをかくことにより,$\FBAS{ス}<b<\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チツ}}$のとき,$\maruni$を満たす$a$の値の個数は\FBA{テ}であることがわかる。 \end{shomon} \begin{shomon} 放物線$D$の頂点が$x$軸上にあるのは,$a=\FBA{ト},\,\dfrac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}}$の二つの場合である。$a=\FBAS{ト}$のときの放物線を$D_1$,$a=\dfrac{\FBAS{ナ}}{\FBAS{ニ}}$のときの放物線を$D_2$とする。$D_1$,$D_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\dfrac{2^{\,\FBD{ヌ}}}{3^{\,\FBD{ネノ}}}$である。 \end{shomon} \end{jituwaku} \h\kai\quad $y=x^3$について,$y'=3x^2$であるから,曲線$C$の点P$(a,\,a^3)$における接線の方程式は \[y=3a^2(x-a)+a^3 \Yueni y=3a\bd{^2}x-\bd{2}a\bd{^3}\GT{アイウ}\] また,放物線$D$が点Pを通るとき\quad $a^3=a^2+pa+q$\\ さらに$y=x^2+px+q$について$y'=2x+p$であり,$C,D$のPにおけるそれぞれの接線が一致するとき,$x=a$における傾きが等しいことから\quad $3a^2=2a+p$\\ この2式より\quad $p=3a\bd{^2}-\bd{2}a\GT{エオ}$ \[q=a^3-a^2-pa=a^3-a^2-(3a^2-2a)a=\bd{-2}a^3+a\bd{^2}\GT{カキク}\] \h\kakkonib\quad 放物線$D$が点Q$(0,\,b)$を通るとき \[b=q=\bd{-2}a^3+a\bd{^2}\GT{ケコサ}\Cdots\maruni\] \hmawarikomi{17.5}{7}{\RESETKEYA \setkeys{zogen}{% hensu=a ,ranab=0, ranad=\dfrac{1}{3}, kansub=f'(x),ranba=-,ranbb=0,ranbc=+,ranbd=0,ranbe=-, kansuc=f(x),ranca=\searrow, rancb=0, rancc=\nearrow, rancd=\dfrac{1}{27}, rance=\searrow} \zogen(3,5)}{1cm}{20.5}% ここで,関数$f(x)=-2x^3+x^2$について \[f'(x)=-6x^2+2x=-2x(3x-1)\] となるので,$f(x)$は$x=\bd{0}\GT{シ}$で極小値$\bd{0}\GT{ス}$,$x=\bd{\dfrac{1}{3}}\GT{セソ}$で極大値$\bd{\dfrac{1}{27}}\GT{タチツ}$をとる。 \ymawarikomi{14}{9}{4.5cm}{center2012-2b-2kaitou1.eps}{4.2cm}{30}% \quad $\maruni$を満たす$a$の個数は,曲線$y=f(x)$と直線$y=b$の共有点の個数に等しいので,$0<b<\dfrac{1}{27}$のとき,$\maruni$を満たす$a$の個数は$\bd{3}\,$個$\GT{テ}$\\ \kakkosanb\quad 放物線$D:y=x^2+(3a^2-2a)x-2a^3+a^2$の頂点が$x$軸上にあるのは,2次方程式$x^2+(3a^2-2a)x-2a^3+a^2=0$の判別式が0の場合であるから \[(3a^2-2a)^2-4(-2a^3+a^2)=a^3(9a-4)=0\] \[\yueni\quad a=\bd{0},\,\bd{\frac{4}{9}}\GT{トナニ}\] \ymawarikomi{14}{9}{4.5cm}{center2012-2b-2kaitou2-2.eps}{4cm}{30}% $a=0$のとき\quad $D_1:y=x^2$\\ $a=\dfrac{4}{9}$のとき\quad $D_2:y=\SK{x-\dfrac{4}{27}}\shisu{2}$\\ であり,放物線$D_1$と$D_2$の共有点の$x$座標は対称性より$\dfrac{2}{27}$であるから,求める面積は \[2\dint{0}{\frac{2}{27}}x^2\;dx=2\tint{\frac{1}{3}x^3}{0}{\frac{2}{27}}\] \[\hphantom{2\dint{0}{\frac{2}{27}}x^2\;dx}=\frac{2}{3}\cdot\SK{\frac{2}{27}}\shisu{3}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2^3}{3^9}=\frac{2\bd{^4}}{3\bd{^{10}}}\GT{ヌネノ}\] \end{document}