センター試験 数学Ⅱ・B 2012年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2012年度
問No 問1
学部
カテゴリ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} $a>0,a\neq 1$として,不等式 \[\h 2\log_{a}(8-x)>\log_{a}(x-2)\Cdots\maruichi\] を満たす$x$の値の範囲を求めよう。\\ \quad 真数は正であるから,$\FBA{ア}<x<\FBA{イ}$が成り立つ。ただし,対数$\log_{a}b$に対し,$a$を底といい,$b$を真数という。\\ \quad 底$a$が$a<1$を満たすとき,不等式$\maruichi$は \[\h x^2-\FBA{ウエ}x+\FBA{オカ}\FBA{キ}0\Cdots\maruni\] となる。ただし,\FBA{キ}については,当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruni}のうちから一つ選べ。\\ \\ \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $<$} \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $=$} \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $>$}\\ \\ \quad したがって,真数が正であることと$\maruni$から,$a<1$のとき,不等式$\maruichi$を満たす$x$のとり得る値の範囲は$\FBA{ク}<x<\FBA{ケ}$である。\\ \quad 同様にして,$a>1$のときには,不等式$\maruichi$を満たす$x$のとり得る値の範囲は\\ $\FBA{コ}<x<\FBA{サ}$であることがわかる。 \EK \vspace{4mm} \BK{\kagini} $0\leq\alpha\leq\pi$として \[\h \sin\alpha=\cos 2\beta\] を満たす$\beta$について考えよう。ただし,$0\leq\beta\leq\pi$とする。\\ \quad たとえば,$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$のとき,$\beta$のとり得る値は$\dfrac{\pi}{\FBA{シ}}$と$\dfrac{\FBA{ス}}{\FBAS{シ}}\pi$の二つである。\\ \quad このように,$\alpha$の各値に対して,$\beta$のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を$\beta_1$,大きい方を$\beta_2$とし \[\h y=\sin\SK{\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}}\] が最大となる$\alpha$の値とそのときの$y$の値を求めよう。\\ \quad $\beta_1$,$\beta_2$を$\alpha$を用いて表すと,$0\leq \alpha < \dfrac{\pi}{2}$のときは \[\h \beta_1=\frac{\pi}{\FBA{セ}}-\frac{\alpha}{\FBA{ソ}},\,\beta_2=\frac{\FBA{タ}}{\FBAS{セ}}\pi+\frac{\alpha}{\FBAS{ソ}}\] となり,$\dfrac{\pi}{2}\leq\alpha\leq\pi$のときは \[\beta_1=-\frac{\pi}{\FBA{チ}}+\frac{\alpha}{\FBA{ツ}},\,\beta_2=\frac{\FBA{テ}}{\FBAS{チ}}\pi-\frac{\alpha}{\FBAS{ツ}}\] となる。\\ \quad したがって,$\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}$のとり得る値の範囲は \[\h \frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}\pi\leq\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}\leq\frac{\FBA{ニヌ}}{\FBA{ネ}}\pi\] である。よって,$y$が最大となる$\alpha$の値は$\dfrac{\FBA{ノ}}{\FBA{ハヒ}}\pi$であり,そのときの$y$の値は\FBA{フ}であることがわかる。\FBA{フ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。\\ \\ \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $\dfrac{1}{2}$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $1$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $\dfrac{\dsqrt{2}}{2}$} \NM{\nagamarusan}\quad $\dfrac{\dsqrt{3}}{2}$ \EK \end{jituwaku} \h\kai\quad\kagiichib\quad $2\log_a(8-x)>\log_a(x-2)\Cdots\maruichi$\\ 真数は正であるから \[8-x>0\;かつ\;x-2>0 \Yueni \bd{2}<x<\bd{8}\GT{アイ}\Cdots\asta\] 不等式$\maruichi$は \[\log_a(8-x)^2>\log_a(x-2)\] と変形できるから,底$a$が$a<1$を満たすとき \[(8-x)^2<(x-2)\] \[x^2-\bd{17}x+\bd{66}\;\bd{<}\,\NM{\nagamarureib}\,0\GT{ウ~キ}\] \[(x-6)(x-11)<0 \Yueni 6<x<11\] $\asta$と合わせて\quad $\bd{6}<x<\bd{8}\GT{クケ}$\\ \quad 同様に$a>1$のとき,不等式$\maruichi$は \[(8-x)^2>(x-2)\] \[(x-6)(x-11)>0 \Yueni x<6,\,11<x\] となり,$\asta$と合わせて\quad $\bd{2}<x<\bd{6}\GT{コサ}$ \vspace{4mm} \h\kaginib\quad $\sin\alpha=\cos2\beta \Cdots\marusan$\\ \quad $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$のとき$\marusan$は\quad $\cos2\beta=\dfrac{1}{2}$\\ $0\leq 2\beta \leq 2\pi$より \[2\beta=\frac{\pi}{3},\,\frac{5}{3}\pi\] \[\yueni\quad \beta=\frac{\pi}{\bd{6}},\,\frac{\bd{5}}{6}\pi\GT{シス}\] \ymawarikomi{14}{9}{4.5cm}{center2012-2b-1kaitou1.eps}{4cm}{30}% \quad 一般に,$0\leq \gamma \leq 2\pi$,$0\leq \delta \leq \dfrac{\pi}{2}$を満たす$\gamma$,$\delta$に対して,$\cos\gamma=\cos\delta$となるのは$\gamma=\delta,\,2\pi-\delta$の場合であること,また \[\sin\alpha=\cos\SK{\frac{\pi}{2}-\alpha}=\cos\SK{\alpha-\frac{\pi}{2}}\] と変形できることに注意する。\\ \tokeiichi\quad $0\leq \alpha<\dfrac{\pi}{2}$のとき\\ \quad $\marusan$より\quad $\cos2\beta=\cos\SK{\dfrac{\pi}{2}-\alpha}$\\ となり,$0<\dfrac{\pi}{2}-\alpha\leq\dfrac{\pi}{2}$,$0\leq2\beta\leq 2\pi$であるから \[2\beta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha,\,2\pi-\SK{\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\] \[\yueni\quad \beta=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2},\,\dfrac{3}{4}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\] したがって\quad $\beta_1=\dfrac{\pi}{\bd{4}}-\dfrac{\alpha}{\bd{2}},\,\beta_2=\dfrac{\bd{3}}{4}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\GT{セソタ}$\\ このとき \[\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}=\alpha+\frac{1}{2}\SK{\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}}+\frac{1}{3}\SK{\dfrac{3}{4}\pi+\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{11}{12}\alpha+\frac{3}{8}\pi\] となるので,$0\leq \alpha<\dfrac{\pi}{2}$より\quad $\dfrac{3}{8}\pi\leq \alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}<\dfrac{5}{6}\pi\Cdots\marushi$\\ \tokeini\quad $\dfrac{\pi}{2}\leq\alpha\leq\pi$のとき\\ \quad $\marusan$より\quad $\cos2\beta=\cos\SK{\alpha-\dfrac{\pi}{2}}$\\ となり,$0\leq\alpha-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{2}$,$0\leq2\beta\leq 2\pi$であるから \[2\beta=\alpha-\dfrac{\pi}{2},\,2\pi-\SK{\alpha-\dfrac{\pi}{2}}\] \[\yueni\quad \beta=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2},\,\dfrac{5}{4}\pi-\dfrac{\alpha}{2}\] したがって\quad $\beta_1=-\dfrac{\pi}{\bd{4}}+\dfrac{\alpha}{\bd{2}},\,\beta_2=\dfrac{\bd{5}}{4}\pi-\dfrac{\alpha}{2}\GT{チツテ}$\\ このとき \[\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}=\alpha+\frac{1}{2}\SK{-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}}+\frac{1}{3}\SK{\dfrac{5}{4}\pi-\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{13}{12}\alpha+\frac{7}{24}\pi\] となるので,$\dfrac{\pi}{2}\leq\alpha\leq\pi$より\quad $\dfrac{5}{6}\pi\leq \alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\leq\dfrac{11}{8}\pi\Cdots\marugo$\\ \quad したがって,$\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}$のとり得る値の範囲は$\marushi,\marugo$より \[\dfrac{\bd{3}}{\bd{8}}\pi\leq\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\leq\dfrac{\bd{11}}{\bd{8}}\pi\GT{ト~ナ}\] であり,$y=\sin\SK{\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}}$は$\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}=\dfrac{\pi}{2}$のとき最大値$\bd{1}\;\NM{\nagamaruichib}\;[\textgt{フ}]$をとる。これは$\marushi$の場合であるから \[\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}=\frac{11}{12}\alpha+\frac{3}{8}\pi=\frac{\pi}{2} \Yueni \alpha=\frac{\bd{3}}{\bd{22}}\pi\GT{ノハヒ}\] \end{document}