センター試験 数学Ⅰ・A 2012年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2012年度
問No 問3
学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第3問}}(配点 \; 30)\\ \quad $\Sankaku{ABC}$において,$\text{AB}=\text{AC}=3$,$\text{BC}=2$であるとき \[\ake \cos\Kaku{ABC}=\frac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}},\,\sin\Kaku{ABC}=\frac{\FBA{ウ}\sqrt{\FBA{エ}}}{\FBA{オ}}\] であり,$\Sankaku{ABC}$の面積は$\FBA{カ}\sqrt{\FBA{キ}}$,$\Sankaku{ABC}$の内接円Iの半径は$\dfrac{\sqrt{\FBA{ク}}}{\FBA{ケ}}$である。\\ \quad また,円Iの中心から点Bまでの距離は$\dfrac{\sqrt{\FBA{コ}}}{\FBA{サ}}$である。 \begin{shomon} 辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを,$\text{BP}=\text{BQ}$かつ$\text{PQ}=\dfrac{2}{3}$となるようにとる。このとき,$\Sankaku{PBQ}$の外接円Oの直径は$\dfrac{\sqrt{\FBA{シ}}}{\FBA{ス}}$であり,円Iと円Oは\FBA{セ}。ただし,\FBAS{セ}には次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarushi}から当てはまるものを一つ選べ。\\ \\ \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad 重なる(一致する)} \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad 内接する} \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad 外接する}\\ \makebox[13zw][l]{\NM{\nagamarusan}\quad 異なる2点で交わる} \makebox[13zw][l]{ \NM{\nagamarushi}\quad 共有点をもたない}\\ \end{shomon} \begin{shomon} 円I上に点Eと点Fを,3点C,E,Fが一直線上にこの順に並び,かつ,$\text{CF}=\dsqrt{2}$となるようにとる。このとき \[\ake \text{CE}=\frac{\sqrt{\FBA{ソ}}}{\FBA{タ}},\,\frac{\text{EF}}{\text{CE}}=\FBA{チ}\] である。\\ \quad さらに,円Iと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点をG,線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき,$\dfrac{\text{GM}}{\text{CG}}=\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}$である。 \end{shomon} \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad 点Aから辺BCに下した垂線の足をDとすると,$\text{AB}=\text{AC}$よりDは辺BCの中点である。よって \[\text{BD}=1,\,\text{AD}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}\] ゆえに\quad $\displaystyle\cos\Kaku{ABC}=\bd{\frac{1}{3}}\GT{アイ},\,\sin\Kaku{ABC}=\bd{\frac{2\dsqrt{2}}{3}}\GT{ウエオ}$ \[\Sankaku{ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{2}=\bd{2\dsqrt{2}}\GT{カキ}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2012-1a-3kaitou1.eps}{4cm}{30}% さらに$\Sankaku{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると \[\frac{1}{2}r(3+2+3)=2\dsqrt{2} \Yueni r=\bd{\frac{\dsqrt{2}}{2}}\GT{クケ}\] また,内接円の中心をIとすると,Iは線分AD上にあるので \[\text{BI}=\sqrt{1^2+r^2}=\sqrt{1+\SK{\frac{\dsqrt{2}}{2}}\shisu{2}}=\bd{\frac{\dsqrt{6}}{2}}\GT{コサ}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2012-1a-3kaitou2.eps}{5cm}{30}% \kakkoichib\quad $\Kaku{ABC}=\Kaku{PBQ}$であることに注意する。$\Sankaku{PBQ}$の外接円Oの半径を$R$とすると,$\Sankaku{PBQ}$において正弦定理より \[2R=\frac{\text{PQ}}{\sin\Kaku{ABC}}=\frac{2}{3}\div\frac{2\dsqrt{2}}{3}=\bd{\frac{\dsqrt{2}}{2}}\GT{シス}\] \[R=\frac{\dsqrt{2}}{4}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2012-1a-3kaitou3.eps}{6.2cm}{30}% また外接円の中心をOとする。$\text{BP}=\text{BQ}$であるから,線分PQの垂直二等分線円と$\Kaku{PBQ}$の角の二等分線は一致するので,3点B,O,Iは一直線上にある. \[\text{BO}=R=\dfrac{\dsqrt{2}}{4}<\frac{\dsqrt{6}}{2}=\text{BI}\] より3点B,O,Iはこの順に並び \[\text{OI}=\text{BI}-\text{BO}=\frac{2\dsqrt{6}-\dsqrt{2}}{4}\] \[R+r=\frac{\dsqrt{2}}{4}+\frac{\dsqrt{2}}{2}=\frac{3\dsqrt{2}}{4}\] ここで \[\frac{3\dsqrt{2}}{4}-\frac{2\dsqrt{6}-\dsqrt{2}}{4}=\frac{2\dsqrt{2}-\dsqrt{6}}{2}=\frac{\dsqrt{8}-\dsqrt{6}}{2}>0\] よって2円O,Iの中心間の距離は2円の半径の和より小さい。点Bが円Iに含まれることはないから,円Oと円Iは異なる2点で交わる\NM{\nagamarusanb}\;[\textgt{セ}] \h\kakkonib\quad 方べきの定理より \[\text{CE}\cdot\text{CF}=\text{CD}^2\] \[\text{CE}\cdot\dsqrt{2}=1^2 \Yueni \text{CE}=\bd{\frac{\dsqrt{2}}{2}}\GT{ソタ}\] よって$\text{EF}=\dsqrt{2}-\dfrac{\dsqrt{2}}{2}=\dfrac{\dsqrt{2}}{2}$となり\quad $\dfrac{\text{EF}}{\text{CE}}=\bd{1}\GT{チ}$ \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2012-1a-3kaitou4.eps}{1cm}{30}% \quad 点Dは線分BCの中点,点Eは線分CFの中点であるから,線分BEと線分DFとの交点Gは$\Sankaku{BCF}$の重心である。ゆえに$\text{CG}:\text{GM}=2:1$となるので \[\frac{\text{GM}}{\text{CG}}=\bd{\frac{1}{2}}\GT{ツテ}\] \vspace{4mm} \Chu{Gが重心であることに気づかなくても,チェバの定理により$\dfrac{\text{BM}}{\text{MF}}$を求め,メネラウスの定理により$\dfrac{\text{GM}}{\text{CG}}$を求めることができる。} \end{document}