一橋大学 後期 2006年度 問3

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解答作成者: 松本真之介

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 後期
年度 2006年度
問No 問3
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 図形と計量 ・ 平面幾何 ・ ベクトル
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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考え方 (1)三角比に関する基本問題です。円に内接する四角形の性質を利用し、ACの2乗を2通りで表します。 (2)△OAC、△OADについて、正弦定理でsin∠OACとsin∠OADを求めます。sinが求まればcosも求まるので、ACとADが(1)で求めたので、内積も求まります。(一般的な解法) 実は△OAC、△OADが二等辺三角形なので、cosは簡単に求まります。(本解答はこちらで書きます) (3)内積に関する基本問題です。(2)が解ければ内積の式に代入するだけです。 注(2)のタイプでは外接円の半径Rを求めますが、今回の計算では約分されてしまうためRは求めてません。 解 (1)∠ABC=θとおく。∠ADC=π-θであり余弦定理より$AC^2=7-2√6*cosθ=10+4√6*cos(π-θ)= 10+4√6*cosθ$ よって、AC=2√2 (2)外接円の半径をAO=Rとする。△OAC、△OADが二等辺三角形なので、$cos∠OAD=\frac{1}{R},cos∠OAC=\frac{2}{R}$ ${ \vec{AO} * \vec{AD} =AO*AD*\frac{1}{R}=2}$ ${ \vec{AO} * \vec{AC} =AO*AC*\frac{2}{R}=4}$ (3)(1)より$cosθ=\frac{3√2}{8}$なので${ \vec{AD} * \vec{AC} =3}$ ${ \vec{AO} * \vec{AD} =8x+y \vec{AD} * \vec{AC}=4}$ ${ \vec{AO} * \vec{AC} =x \vec{AD} * \vec{AC}+4y=2}$ 8x+3y=4,3x+4y=2以上から$x=\frac{10}{23},y=\frac{4}{23}$