一橋大学 後期 2006年度 問2

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解答作成者: 松本真之介

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 後期
年度 2006年度
問No 問2
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 式と証明 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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考え方 (1)導関数の基本問題です。kで場合分けをします。 (2)最大、最小の問題ではグラフを書くか、特別な不等式で求めるかが原則です。本問では(1)の不等式を利用します。  ここで大事なのは、特別な不等式で最小値を求める際、等号成立条件を満たすものが存在しているかが重要です。 存在してない場合もあり、その場合最小値にはなりません。本問ではx≧A、y≧A(等号成立)のときx+yの最小値は2Aとなることを利用します。 解答 (1)$f(x)=4x^3-kx+1$とおく。(x≧0) $f'(x)=12x^2-k$ (a)$k<0$のとき、$f'(x)>0,f(0)=1$なので、$f(x)>0$ (b)$k≧0$のとき、$x=\sqrt{\frac{k}{12}}$で極小かつ最小となり、$1-(\frac{k}{3})^{\frac{3}{2}}$をとり、これが0以上となるkを求めればよい。よってk≦3 以上から求める範囲は0≦k≦3 (2) (1)で等号を成立するようなxはf(x)の最小値が0となるときのみなので、$x=\sqrt{\frac{3}{12}}=\frac{1}{2}$となり、k=3のときのみである。また、(1)より$4x^3+1≧kx(x≧0)$なので、$4y^3+1≧ky(y≧0)$とすることができる。(等号成立条件$y=\frac{1}{2}$) $4(x^3+y^3)+5≧k(x+y)+3$が成立し、等号が成立するのは、k=3のときのみである。${ \frac{4 \left(x ^{3} +y ^{3} \right) +5}{x+y+1} }$≧${ \frac{3 \left(x+y\right) +3}{x+y+1} }=3$ 以上から求める最小値は3である。