室蘭工業大学 前期 2009年度 問2

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問2
学部 工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{2.}}$k$を正の定数とし, 関数$f(x)$を$f(x)=kx^2-\log x$と定める。ここで,対数は自然  対数である。 {\sf (1)} $f(x)$の極値を$k$を用いて表せ。 {\sf (2)} $f(x)=0$が相異なる2つの解をもつための$k$に関する必要十分条件を求めよ。    ただし,必要なら$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=∞$を用いてよい。 {\sf (3)} $f(x)=0$は2つの解$x_1,x_2(x_1<x_2)$をもつとする。このとき,           $I=\displaystyle \frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}(3kx^2-\log x)dx$    とおくと$I$は$k$の値によらず一定となる。$I$の値を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $f(x)$は,$x>0$で定義され,微分可能であるので, $f'(x)=2kx-\displaystyle \frac{1}{x}$   $f'(x)=0より,\displaystyle \frac{2kx^2-1}{x}=0 ⇔ 2kx^2=1$                  $⇔ x^2=\displaystyle \frac{1}{2k}$                  ∴ $x=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2k}} (∵x>0)$   よって,$f(x)$の$x>0$における増減は以下の通りである。 \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} \hline x&0&\cdots&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2k}}&\cdots \\ \hline f'(x)& &-&0&+ \\ \hline f(x)& &\searrow&極小&\nearrow \\ \hline \end{array} \]   以上より,極小値は$f \displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2k}} \right)=k \left(\frac{1}{\sqrt{2k}} \right)^2-\log \frac{1}{\sqrt{2k}}$                 $=k・\displaystyle \frac{1}{2k}-\log(2k)^{-\frac{1}{2}}$                $=\displaystyle \frac{1}{2}(1+\log2k)$ $(x=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2k}}のとき)・・・・・{\sf ((答))}$ {\sf (2)} $\displaystyle \lim_{x→+0}f(x)=\lim_{x→+0}(kx^2-\log x)=∞$    $\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=\lim_{x→∞}(kx^2-\log x)=∞$なので,{\sf (1)}の増減を含めて考えると,   $f(x)=0$が相異なる2つの実数解をもつ条件は,[$f(x)$の極小値]<0となれば   よい。     したがって,$\displaystyle \frac{1}{2}(1+\log2k)<0 ⇔ \log 2k<-1$                   $⇔ 2k<\displaystyle \frac{1}{e}$    $k>0$を含めて考えると,求める$k$の値の範囲は,                      $0<k<\displaystyle \frac{1}{2e}・・・・・{\sf ((答))}$    となる。 {\sf (3)} $f(x)=0$は2つの解$x_1,x_2(x_1<x_2)$なので,       $f(x_1)=kx_1^2-\log x_1=0・・・・・\textcircled{\scriptsize1}$       $f(x_2)=kx_2^2-\log x_2=0 ・・・・・\textcircled{\scriptsize2}$   を満たす。このとき,$\displaystyle \int \log xdx=x\log x-x+C(Cは積分定数)$を用いて,        $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}(3kx^2-\log x)dx=\displaystyle [kx^3-(x\log x-x)]_{x_1}^{x_2}$                   $=kx_2^3-x_2\log x_2+x_2-(kx_1^3-x_1\log x_1+x_1)$                  $=x_2(kx_2^2-\log x_2)+x_1(kx_1^2-\log x_1)+(x_2-x_1)$   となる。したがって,\textcircled{\scriptsize1},\textcircled{\scriptsize2}より,      $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}(3kx^2-\log x)dx=x_2-x_1・・・・・(*)$   となるので,     $I=\displaystyle \frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}(3kx^2-\log x)dx ⇔ I=\displaystyle \frac{1}{x_2-x_1}(x_2-x_1) (∵(*))$                        $⇔ I=1$   以上より,一定値となり,$I$の値は1となる。・・・・・{\sf ((答))} \end{document}