室蘭工業大学 前期 2009年度 問1

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問1
学部 工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{1.}} $a,b,c$を定数とし,$a>1$とする。関数$f(x),g(x)$を \begin{center} $f(x)=-\displaystyle \frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c, g(x)=f'(x)$ \end{center}  と定める。$f(x)$は$x=1$で極値$-1$をとる。 {\sf (1)} $b$と$c$を$a$を用いて表せ。 {\sf (2)} 曲線$y=g(x)とx$軸で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{4}{3}$であるとき,定数$a,b,c$の   値を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $f(x)$は$x=1$で極値$-1$をとるので,$f'(1)=0・・・・・\textcircled{\small 1}                               f(1)=-1・・・・・\textcircled{\small 2}$   が成り立つ。$f'(x)=-x^2+2ax+b$より,   \textcircled{\small 1}より,$f'(1)=-1+2a+b=0 ⇔ b=1-2a・・・・・{\sf ((答))}$   \textcircled{\small 2}より,$f(1)=\displaystyle -\frac{1}{3}+a+b+c=-1 ⇔ c=a-\displaystyle \frac{5}{3}・・・・・{\sf ((答))}$ {\sf (2)}  $g(x)=f'(x)=-x^2+2ax+(1-2a) \displaystyle \left(∵(1)より,b=1-2a \right)$  $g(x)=0より,x^2-2ax-(1-2a)=0$となり,2つの解を$\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$おくと,   解と係数の関係より             $\alpha +\beta =2a,\alpha \beta =2a-1・・・・・(*)$  となる。よって,$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる面積が$\displaystyle \frac{4}{3}$なので,             $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{-x^2+2ax+(1-2a)}dx=\displaystyle \frac{4}{3}$             ⇔ $-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=\displaystyle \frac{4}{3}$                ⇔ $\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3=\displaystyle \frac{4}{3}$   ここで,$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha \beta$なので,$(*)$より,      $(\beta-\alpha)^2=4(a^2-2a+1)=4(a-1)^2$となる。したがって,          $\beta-\alpha=\sqrt{4(a-1)^2}=|2(a-1)|$となり,           $\alpha <\beta$より, $\beta-\alpha=2(a-1)$となる。   以上より, $\displaystyle \frac{8}{6}(a-1)^3=\displaystyle \frac{4}{3} ⇔ \displaystyle \frac{4}{3}(a-1)^3=\displaystyle \frac{4}{3}$               $⇔ (a-1)^3=1$               $∴ a=2 ・・・・・{\sf ((答))}$   また,(1)より$b=-3,c=\displaystyle \frac{1}{3}・・・・・{\sf ((答))}$ ((注)) 2次方程式$x^2-2ax-(1-2a)=0$の解は,          $(x+1)(x-(1-2a))=0$          ∴ $x=-1, 1-2a$     となる。これから$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を用いて求めることができる。           \end{document}