北海道大学 前期理系 2011年度 問4

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期理系
年度 2011年度
問No 問4
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 順列と組み合わせ ・ 数列
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{color} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \fbox {\large{4}}} $n$を2以上の自然数,$q$と$r$を自然数とする。1から$nq$までの番号がついた$nq$   個の白玉,1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する。これら白玉と   赤玉を,1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに,小さい番号から順   に白玉は$q$個ずつ,赤玉を$r$個ずつ配分しておく。たとえば,1番の箱には番号1   から$q$の白玉と番号1から$r$の赤玉が入っている。これら$n(q+r)$個の玉を$n$   個の箱に以下のように再配分する。1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱   に移し,次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す。同様の操作を   順次繰り返し最後に$n$の箱に1個の玉を移して終了する。このようにして実現   され得る再配分の総数を$s_n$とし,$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分   の総数を$a_n$とする。 (1) $a_2,a_3$を求めよ。 (2) $s_n$を求めよ。 (3) $a_{n+1}-a_n$を求めよ。 (4) $a_n$を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} (1) 1番の箱には、白玉$q$個、赤玉$r$個の合計$q+r$個が入っている。    $a_2$は,2番目の箱に白玉$q+1$個,赤玉$r$個入っていて、そこから1番目の箱の    白玉を1個移動する場合である。すなわち、1番目の箱$q$個の白玉のうち,1個移    動することを考えて,               $a_2=q$・・・・・{\sf ((答))}     となる。    $a_3$は,3番目の箱に白玉$q+1$個,赤玉$r$個入っていて、    (i) 1番目の箱から2番目の箱に白玉を移動し,2番目の箱から3番目の箱に白      玉を移動する場合    (ii) 1番目の箱から2番目の箱に赤玉を移動し,2番目の箱から3番目の箱に      白玉を移動する場合    の2通りが考えられる。よって,(i),(ii)より求める$a_3$は,               $a_3=q(q+1)+rq=q(q+r+1)$・・・・・{\sf ((答))}     となる。 ~ ~ (2) $s_2$について考える。   1番目の箱には全部で$q+r$個入っているうちに1個移動するので,$q+r$(通り)   ある。       よって,$s_2=q+r$   次に,$s_n(n=3,4,5,・・・・・)$について考える。   $s_3$は3番目の箱への移動は、2番目の箱に$q+r+1$個入っている。その$q+r+1$   個のうち1個が移動するので,       よって, $s_3=s_2・(q+r+1)$         ∴$s_3=(q+r)(q+r+1)$   となる。$s_4$以降も$s_3$同様に考えればよいので,求める$s_n$は           $s_n=(q+r)(q+r+1)^{n-2} (n≧2)$・・・・・{\sf ((答))}  (3) $n+1$番目について考える。白玉が$q+1$個となるのは,   (i) $n$番の箱に白玉$q+1$個,赤玉$r$個入っているときに,$n+1$番目の箱に白玉     を移す場合   (ii) $n$番の箱に白玉$q$個,赤玉$r+1$個入っているとき,$n+1$番の箱に白玉を移     す場合   の2通りが考えられる。したがって,$a_{n+1}$は           $a_{n+1}=a_n×(q+1)+(s_n-a_n)×q$          ⇔ $a_{n+1}-a_n=q(q+r)(q+r+1)^{n-2} (n≧2)$・・・・・{\sf ((答))}  (4) (3)より,$n≧3$のとき      $a_n=a_2+\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}q(q+r)(q+r+1)^{k-2}$      $⇔ a_n=q+\displaystyle \frac {q(q+r)\{(q+r+1)^{n-2}-1\}}{(q+r+1)-1}$      $⇔ a_n=q+q\{(q+r+1)^{n-2}-1\}$      $⇔ a_n=q(q+r+1)^{n-2}$    ここで,$n=2$のときも成立するので,           ∴ $a_n=q(q+r+1)^{n-2} (n≧2)$ ・・・・・{\sf ((答))}  \end{document}