北海道大学 前期理系 2011年度 問3

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期理系
年度 2011年度
問No 問3
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{color} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \fbox {\large{3}}} 次の問いに答えよ。 (1) $xy$平面上の3点$O(0,0),A(2,1),B(1,2)$を通る円の方程式を求めよ。 (2) $t$が実数全体を動くとき,$xyz$空間内の点$(t+2,t+2,t)$がつくる直線を$l$とす    る。3点$O$(0,0,0),$A'(2,1,0),B'(1,2,0)$を通り,中心を$C(a,b,c)$とする球面    $S$が直線$l$と共有点をもつとき,$a,b,c$の満たす条件を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} (1) 求める円の方程式$x^2+y^2+lx+my+n=0$とおく。$O(0,0)より,n=0$   $A(2,1)より,2^2+1^2+2l+m=0⇔2l+m=-5(∵n=0)$   $B(1,2)より1^2+2^2+l+2m=0⇔l+2m=-5(∵n=0)$   よって,2式より$l=\displaystyle - \frac{5}{3},m=\displaystyle - \frac{5}{3}$なので,求める円の方程式は        $x^2+y^2-\displaystyle \frac{5}{3}x- \displaystyle \frac{5}{3}y=0$・・・{\sf ((答))}    となる。 (2) \input{_wtpic00.tex}  (1)で求めた円の方程式を変形すると,      $x^2+y^2-\displaystyle \frac{5}{3}x- \displaystyle \frac{5}{3}y=0 ⇔ \left(x^2-\frac{5}{3}x \right)+\left(y^2-\frac{5}{3}y \right)=0$                  $⇔ \displaystyle \left(x-\frac{5}{6} \right)^2+\left(y-\frac{5}{6} \right)^2=\frac{25}{18}$    となるから,この円の中心を$P$とすると,$P\displaystyle \left(\frac{5}{6},\frac{5}{6},0 \right)$となる。     よって,3点$O,A',B'$を通る球面$S$の中心$C$は,$P\displaystyle \left(\frac{5}{6},\frac{5}{6},0 \right)$を通り$z$軸に    平行な直線上にあるので,$C(a,b,c)$とするとき,                 $(a,b)=\displaystyle \left(\frac{5}{6},\frac{5}{6} \right)・・・\textcircled{\small 1}$    となる。     ここで,球面$S$上の点を$Q(x,y,z)$とすると,$CQ=OC$より,       $\displaystyle \left(x-\frac{5}{6} \right)^2+\left(y-\frac{5}{6} \right)^2+(z-c)^2=\displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^2+\displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^2+c^2$         $⇔x^2+y^2+z^2-\displaystyle \frac{5}{3}x- \displaystyle \frac{5}{3}y-2cz=0$    となる。     したがって,点$(t+2,t+2,t)$がつくる直線$l$との共有点が存在する条件は,       $(t+2)^2+(t+2)^2+t^2-\displaystyle \frac{5}{3}(t+2)- \displaystyle \frac{5}{3}(t+2)-2ct=0$    となり,この式を整理すると             $3t^2-2\displaystyle \left(c-\frac{7}{2} \right)t+\frac{4}{3}=0・・・・・(*)$    となる。求める条件は,$(*)$を満たす実数解が存在すればよいので,       $((*)の判別式)≧0 ⇔ \displaystyle \left(c-\frac{7}{2} \right)^2-3・\frac{4}{3}≧0$                 ⇔ $c≦\displaystyle \frac{1}{3},\frac{13}{3}≦c・・・・・・\textcircled{\small 2}$    となる。以上より,求める$a,b,c$の満たす条件は$\textcircled{\small 1}かつ\textcircled{\small 2}$より            $(a,b)=\displaystyle \left(\frac{5}{6},\frac{5}{6} \right)かつ c≦\displaystyle \frac{1}{3},\frac{13}{3}≦c$・・・{\sf ((答))}    となる。 \fbox{\sf ポイント} 1°(1)については,3点通る円の方程式を求める手法は、円の方程式の一般形を使う。 2°(2)については、重要なことは、中学校で学んできた「共有点の考え方」である。     本問は、「点$(t+2,t+2,t)$が球$S$上にあること」かつ「点$(t+2,t+2,t)$が直線$l$   上であること」を用いた解法である。 \end{document}