北海道大学 前期理系 2011年度 問2

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期理系
年度 2011年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \fbox {\large{2}}} 行列$A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$について,以下の3つの条件を考える。  (i) $a+d=ad-bc=0$  (ii) $A^2=O$  (iii) ある自然数$n$に対して$A^n=O$   このとき,次の問いに答えよ。 (1) (i)ならば(ii)であることを示せ。 (2) (iii)ならば$ad-bc=0$であることを示せ。 (3) (iii)ならば(i)であることを示せ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} (1) $A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$において,ケーリー・ハミルトンの定理より      $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$     $⇔A^2=(a+d)A-(ad-bc)E$・・・・・\textcircled{\small 1}    が成り立つ。(i)より$a+d=0, ad-bc=0$より, \textcircled{\small 1}より        $A^2=0・A-0・E ⇔ A^2=O$    となり,(ii)が成り立つ。 (2) (iii)ならば$ad-bc=0$であることを背理法を用いて示す。(iii)かつ$ad-bc≠0$    であると仮定する。このとき,$A^{-1}$が存在する。$A^n=O$を両辺に左から$A^{-1}$を    かけると         $A^n=O$      $⇔ A^{n-1}=O$      $⇔ A^{n-2}=O$      $⇔ ・・・・・・・・$      $⇔ A=O$    となり,$E=O$となり不合理。したがって,背理法により,(iii)ならば$ad-bc=0$    であることが示された。 (3) (iii)が成り立つとき,(2)より$ad-bc=0$・・・・・\textcircled{\small 2}は成り立つ。   次に、   $n=1$のとき,$A=O$となり,$a+d=0$が成り立つ。   $n≧2のとき$\textcircled{\small 1}より $A^2=(a+d)A$・・・・・\textcircled{\small 3}よりとなる。   \textcircled{\small 3}の両辺を右から$A$をかけると,               $A^3=(a+d)A^2=(a+d)^2A(∵\textcircled{\small 3})$   となる。これを,繰り返し行うと               $A^4=(a+d)^3A$              ⇔$A^5=(a+d)^4A$              ⇔・・・・・・・・・・・              ⇔$A^n=(a+d)^{n-1}A$    となる。よって,(iii)より, $O=(a+d)^{n-1}A$   従って,$a+d=0またはA=O$となる。   いずれにしても, $a+d=0$・・・・・\textcircled{\small 4}が成り立つので,\textcircled{\small 2},\textcircled{\small 4}より,   (iii)ならば(i)であることが示された。 {\sf ((注))}1°正方行列$A$が,ある自然数$n$に対して,$A^n=O$を満たすとき,$A$は冪零行列と     言います。 2°冪零行列をテーマにした問題については、2003年後期で北海道大学で出題されて  いる。 \end{document}