室蘭工業大学 前期 2010年度 問5

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問5
学部 工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{5.}} $a,b,c,d$を実数とする。$E$=$\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{array} \right)$とし, 2次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$は   $A^2=-E$を満たすとする。 {\sf (1)} $a=0$のとき,$d, bc$の値を求めよ。 {\sf (2)} {\sf (1)}の条件のもとで, $E+A$が逆行列をもつことを示せ。さらに,実数$p,q$を    用いて$(E+A)^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき,$p,q$の値を求めよ。 {\sf (3)} $a$を任意の実数とするとき,$a+d, ad-bc$の値を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $a=0$のとき$A=\left(\begin{array}{cc} 0&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$となる。    ここで,$A^2=-E$より,$A^2=\left(\begin{array}{cc} 0&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$$\left(\begin{array}{cc} 0&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$=$\left(\begin{array}{cc} bc&bd \\ c^2&bc+d^2 \\ \end{array} \right)$                $=\left(\begin{array}{cc} -1&0 \\ 0&-1 \\ \end{array} \right)$    $(1,1)$成分より, $bc=-1$・・・{\sf ((答))}     $(2,2)$成分より$bc+d^2=-1$ ⇔ $-1+d^2=-1$                   ⇔ $d=0$・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} {\sf (1)}より,$a=0,d=0$なので, $A=\left(\begin{array}{cc} 0&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$なので,$E+A=\left(\begin{array}{cc} 1&b \\ c&1 \\ \end{array} \right)$と   なる。   ここで, det$(E+A)=1-bc$             =2≠0 (∵$bc=-1$)   となる。したがって, $(E+A)$は逆行列をもつことが示せた。   また,$(E+A)^{-1}=\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 1&-b \\ -c&1 \\ \end{array} \right)$           $=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{ \left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{array} \right)-\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 0&b \\ c&0 \\ \end{array} \right) \right\}$          $=pE+qA$   となる。したがって,求める$p,q$は, $p=\displaystyle \frac{1}{2} , q=\displaystyle -\frac{1}{2}$・・・{\sf ((答))} {\sf (3)} ケーリー・ハミルトンの定理より, $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$に,   $A^2=-E$を代入すると, $(a+d)A=(ad-bc-1)E$   (i)$a+d=0$のとき, $O=(ad-bc-1)E$ より             $ad-bc-1=0 ⇔ ad-bc=1$   (ii)$a+d≠0$のとき, $A=\displaystyle \frac{ad-bc-1}{a+d}E$    これを,$A=kE(kは実数)$とおき,$A^2=-E$に代入すると, $k^2E=-E$                                $⇔ k^2=-1$    となり,不適。    (i),(ii)より,$a+d=0,ad-bc=-1$・・・{\sf ((答))} {\sf ((注))} 1° 逆行列について \begin{screen} 行列$A$に対して,$AX=E,XA=E$となる行列$X$を$A$の逆行列といい,$A^{-1}$で表す。 $A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$に対して,   (i)det$(ad-bc)≠0$のとき,$A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d&-b \\ -c&a \\ \end{array} \right)$   (ii)det$(ad-bc)=0$のとき,$A^{-1}$は存在しない  \end{screen}  2° ケーリー・ハミルトンの定理について \begin{screen}   $A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$において,$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$が成り立つ。$a+d$を行列$A$の対角和(tr$A$と表す),$ad-bc$を行列$A$の行列式(det$A$と表す)と言います。 \end{screen}    \end{document}