室蘭工業大学 前期 2010年度 問4

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問4
学部 工学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{4.}} $s,t$を正の実数とする。平面上の3点A,B,Cは同一直線上にないものとし,さ   らに平面上の2点P,Qを$\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}$, $\overrightarrow{\rm BQ}=\displaystyle \frac{t}{s+t}\overrightarrow{\rm BC}$で定める。   {\sf (1)} $\overrightarrow{\rm AQ}$を$s,t,\overrightarrow{\rm AB},\overrightarrow{\rm AC}$を用いて表せ。 {\sf (2)} $\overrightarrow{\rm AB}と\overrightarrow{\rm AC}$のなす角が60°で$|\overrightarrow{\rm AC}|=2|\overrightarrow{\rm AB}|$であるとする。$\overrightarrow{\rm AP} ⊥\overrightarrow{\rm CP}$かつ   $|\overrightarrow{\rm AP}|=5t|\overrightarrow{\rm AQ}|$であるとき,$s,t$の値を求めよ。 \end{screen} \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)}  $\overrightarrow{\rm BQ}=\displaystyle \frac{t}{s+t}\overrightarrow{\rm BC}$を始点Aにして変形すると, ←{\sf ((注))1°}        $\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AB}=\displaystyle \frac{t}{s+t}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})$    $⇔ \overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{t}{s+t}\overrightarrow{\rm AC}+\displaystyle \left(1-\frac{t}{s+t} \right)\overrightarrow{\rm AB}$    $⇔ \overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{s}{s+t} \overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{t}{s+t}\overrightarrow{\rm AC}$・・・{\sf ((答))}  {\sf (2)} $\overrightarrow{\rm AB}と\overrightarrow{\rm AC}$のなす角が60°なので,    $\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}=|\overrightarrow{\rm AB}|・|\overrightarrow{\rm AC}|\cos 60°$  $⇔ \overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}=\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AB}|・2|\overrightarrow{\rm AB}| (∵|\overrightarrow{\rm AC}|=2|\overrightarrow{\rm AB}|)$  $⇔ \overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}=|\overrightarrow{\rm AB}|^2・・・\textcircled{\small 1}$ となる。  ここで,{\sf (1)}より,$\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{1}{s+t} (s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC})$       $⇔ \overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{1}{s+t}\overrightarrow{\rm AP} (∵ \overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC})$       $⇔ \overrightarrow{\rm AP}=(s+t)\overrightarrow{\rm AQ}$       $⇔ |\overrightarrow{\rm AP}|=(s+t)|\overrightarrow{\rm AQ}|$  となる。ここで,$|\overrightarrow{\rm AP}|=5t|\overrightarrow{\rm AQ}|$と比較すると, $5t$=$s+t$ ⇔ $s$=$4t・・・\textcircled{\small 2}$と  なる。  したがって,\textcircled{\small 2},$\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}より,\overrightarrow{\rm AP}=t(4\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC})$・・・\textcircled{\small 3}となる。  $\overrightarrow{\rm AP}⊥\overrightarrow{\rm CP}から\overrightarrow{\rm AP} ・\overrightarrow{\rm CP}=0 ⇔ \overrightarrow{\rm AP}・(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})=0$ ←{\sf ((注))2°}               $⇔t(4\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC})(4t\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AC})=0$              $⇔t(4\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}) {4t\overrightarrow{\rm AB}+(t-1)\overrightarrow{\rm AC}}=0$   ここで,$t>0$より両辺を$t$で割ると,          $(4\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}) {4t\overrightarrow{\rm AB}+(t-1)\overrightarrow{\rm AC}}=0$       $⇔ 16t|\overrightarrow{\rm AB}|^2+4(t-1)\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}+4t\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}+(t-1)|\overrightarrow{\rm AC}|^2=0$   となり,\textcircled{\small 1},$|\overrightarrow{\rm AC}|=2|\overrightarrow{\rm AB}|$より,         $16t|\overrightarrow{\rm AB}|^2+4(t-1)|\overrightarrow{\rm AB}|^2+4t|\overrightarrow{\rm AB}|^2+4(t-1)|\overrightarrow{\rm AB}|^2=0$        $⇔ 16t+4(t-1)+4t+4(t-1)=0$        $⇔ 4t+(t-1)+t+(t-1)=0$              $⇔ 7t=2$              $∴ t=\displaystyle \frac{2}{7}$・・・{\sf ((答))}    \textcircled{\small 2}より,$s=\displaystyle \frac{8}{7}$・・・{\sf ((答))}  {\sf ((注))}1° ベクトルの解法の戦術として、問題文のベクトルの始点に着目することが     重要である。   2°2つのベクトル$\overrightarrow{\rm AB}$と$\overrightarrow{\rm AC}$が垂直のとき,内積$\overrightarrow{\rm AB}・\overrightarrow{\rm AC}$は0となる。    \end{document}