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解答作成者: 小松 弘直
入試情報
大学名 |
室蘭工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問3 |
学部 |
工学部
|
カテゴリ |
数列
|
状態 |
 |
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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle}
\pagestyle{empty}
\usepackage{ascmac}
\begin{document}
\begin{screen}
{\bf \large{3.}} 数列${a_n}$は
\begin{center}
$a_1=\displaystyle \frac{1}{3}, (1-a_{n+1})(1+2a_n)=1 (n=1,2,3,・・・・・)$
\end{center}
を満たすとする。
{\sf (1)} すべての正の整数$n$に対して,$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$であることを,数学的帰納法によって
示せ。
{\sf (2)} 数列$b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}$とおくとき,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
{\sf (3)} 数列${a_n}$の一般項を求めよ。
\end{screen}
\fbox{\sf 解 答}
{\sf (1)} $a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$を数学的帰納法を用いて証明する。
(i)$n=1$のとき $a_1≧\displaystyle \frac{1}{3}$となり成立。
(ii)$n=k(≧1)$のとき $a_k≧\displaystyle \frac{1}{3}$が成り立つことを仮定すると,
$n=k+1$のとき $(1-a_{k+1})(1+2a_k)=1$
$⇔ 1-a_{k+1}=\displaystyle \frac{1}{1+2a_k}$
$⇔ a_{k+1}=\displaystyle \frac{2a_k}{1+2_k}≧\frac{2・\displaystyle \frac{1}{3}}{1+2・\displaystyle \frac{1}{3}}$
$=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{1+\displaystyle \frac{2}{3}}$
$=\displaystyle \frac{2}{5}$
$≧\displaystyle \frac{1}{3}$
よって,$n=k+1$のとき,成立する。
したがって,(i),(ii)よりすべての正の整数$n$に対して$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$であることが証明さ
れた。
{\sf (2)} {\sf (1)}より$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$なので, $(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1$は,$a_{k+1}=\displaystyle \frac{2a_k}{1+2_k}・・・(*)$
と変形できる。$(*)$の両辺の逆数をとると,
$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+2a_n}{2a_n}$
$⇔ \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2a_n}+1$
ここで,$b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}$とおくと,$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$・・・{\sf ((答))}となる。
{\sf (3)} {\sf (2)}より,$b_{n+1}-2=\displaystyle \frac{1}{2}(b_n-2)$と変形できる。 ←{\sf ((注))1°}
$b_n-2=(b_1-2)・\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
ここで,$b_1-2=\displaystyle \frac{1}{a_1}-2$
$=3-2 (∵a_1=\displaystyle \frac{1}{3}より\displaystyle \frac{1}{a_1}=3)$
=1 であるから,
$b_n-2=1・\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
$⇔b_n=\displaystyle \frac{1+2^n}{2^{n-1}}$
$∴ a_n=\displaystyle \frac{2^{n-1}}{1+2^n}$・・・{\sf ((答))}となる。
{\sf ((注))1°} 漸化式,$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$の変形は,以下のように行う。
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$
$\underline{-) α =\displaystyle \frac{1}{2}α+1 } ・・・★$
$b_{n+1}-α=\displaystyle \frac{1}{2}(b_n-α)・・・(*)’$
ここで,★を解くと,$α=2$となり,$(*)'$に代入すると,解答の式となる。
{\sf 2°}自然数$n$の命題を証明する方法として,数学的帰納法を用いる。
\begin{screen}
自然数の命題P($n$)において,
(i) $n=1$のとき,命題P($n$)が成り立つことを確認する。
(ii) $n=k$のとき,命題P($n$)が成り立つことを仮定し,$n=k+1$のとき
成り立つことを確認する。
\end{screen}
\end{document}