室蘭工業大学 前期 2010年度 問3

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問3
学部 工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{3.}} 数列${a_n}$は \begin{center} $a_1=\displaystyle \frac{1}{3}, (1-a_{n+1})(1+2a_n)=1 (n=1,2,3,・・・・・)$ \end{center}  を満たすとする。 {\sf (1)} すべての正の整数$n$に対して,$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$であることを,数学的帰納法によって    示せ。 {\sf (2)} 数列$b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}$とおくとき,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。 {\sf (3)} 数列${a_n}$の一般項を求めよ。 \end{screen} \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$を数学的帰納法を用いて証明する。   (i)$n=1$のとき $a_1≧\displaystyle \frac{1}{3}$となり成立。   (ii)$n=k(≧1)$のとき $a_k≧\displaystyle \frac{1}{3}$が成り立つことを仮定すると,    $n=k+1$のとき $(1-a_{k+1})(1+2a_k)=1$           $⇔ 1-a_{k+1}=\displaystyle \frac{1}{1+2a_k}$           $⇔ a_{k+1}=\displaystyle \frac{2a_k}{1+2_k}≧\frac{2・\displaystyle \frac{1}{3}}{1+2・\displaystyle \frac{1}{3}}$                    $=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{1+\displaystyle \frac{2}{3}}$                    $=\displaystyle \frac{2}{5}$                    $≧\displaystyle \frac{1}{3}$    よって,$n=k+1$のとき,成立する。    したがって,(i),(ii)よりすべての正の整数$n$に対して$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$であることが証明さ    れた。 {\sf (2)} {\sf (1)}より$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$なので, $(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1$は,$a_{k+1}=\displaystyle \frac{2a_k}{1+2_k}・・・(*)$    と変形できる。$(*)$の両辺の逆数をとると,          $\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+2a_n}{2a_n}$        $⇔ \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2a_n}+1$    ここで,$b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}$とおくと,$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$・・・{\sf ((答))}となる。 {\sf (3)} {\sf (2)}より,$b_{n+1}-2=\displaystyle \frac{1}{2}(b_n-2)$と変形できる。 ←{\sf ((注))1°}     $b_n-2=(b_1-2)・\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$   ここで,$b_1-2=\displaystyle \frac{1}{a_1}-2$         $=3-2 (∵a_1=\displaystyle \frac{1}{3}より\displaystyle \frac{1}{a_1}=3)$          =1 であるから,       $b_n-2=1・\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$       $⇔b_n=\displaystyle \frac{1+2^n}{2^{n-1}}$      $∴ a_n=\displaystyle \frac{2^{n-1}}{1+2^n}$・・・{\sf ((答))}となる。 {\sf ((注))1°} 漸化式,$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$の変形は,以下のように行う。      $b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$     $\underline{-) α =\displaystyle \frac{1}{2}α+1 } ・・・★$   $b_{n+1}-α=\displaystyle \frac{1}{2}(b_n-α)・・・(*)’$    ここで,★を解くと,$α=2$となり,$(*)'$に代入すると,解答の式となる。   {\sf 2°}自然数$n$の命題を証明する方法として,数学的帰納法を用いる。 \begin{screen}    自然数の命題P($n$)において,    (i) $n=1$のとき,命題P($n$)が成り立つことを確認する。    (ii) $n=k$のとき,命題P($n$)が成り立つことを仮定し,$n=k+1$のとき      成り立つことを確認する。 \end{screen} \end{document}