すうじあむ

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{3.}} 数列$｛a_n｝$は \begin{center} $a_1=\displaystyle \frac{1}{3},　(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1　(n=1,2,3,・・・・・)$ \end{center} 　を満たすとする。 {\sf (1)}　すべての正の整数$n$に対して,$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$であることを,数学的帰納法によって 　　 示せ。 {\sf (2)}　数列$b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}$とおくとき,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。 {\sf (3)}　数列$｛a_n｝$の一般項を求めよ。 \end{screen} \fbox{\sf 解　答} {\sf (1)}　$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$を数学的帰納法を用いて証明する。 　　(i)$n=1$のとき　$a_1≧\displaystyle \frac{1}{3}$となり成立。 　　(ii)$n=k(≧1)$のとき　$a_k≧\displaystyle \frac{1}{3}$が成り立つことを仮定すると, 　　　$n=k+1$のとき　$(1-a_{k+1})(1+2a_k)=1$ 　　　　　　　　　　$⇔　1-a_{k+1}=\displaystyle \frac{1}{1+2a_k}$ 　　　　　　　　　　$⇔　a_{k+1}=\displaystyle \frac{2a_k}{1+2_k}≧\frac{2・\displaystyle \frac{1}{3}}{1+2・\displaystyle \frac{1}{3}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{1+\displaystyle \frac{2}{3}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle \frac{2}{5}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$≧\displaystyle \frac{1}{3}$ 　　　よって,$n=k+1$のとき,成立する。 　　　したがって,(i),(ii)よりすべての正の整数$n$に対して$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$であることが証明さ 　　　れた。 {\sf (2)}　{\sf (1)}より$a_n≧\displaystyle \frac{1}{3}$なので,　$(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1$は,$a_{k+1}=\displaystyle \frac{2a_k}{1+2_k}・・・(*)$ 　　　と変形できる。$(*)$の両辺の逆数をとると, 　　　　　　　　　$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+2a_n}{2a_n}$ 　　　　　　　$⇔　\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2a_n}+1$ 　　　ここで,$b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}$とおくと,$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$・・・{\sf ((答))}となる。 {\sf (3)}　{\sf (2)}より,$b_{n+1}-2=\displaystyle \frac{1}{2}(b_n-2)$と変形できる。　←{\sf ((注))1°} 　　　　$b_n-2=(b_1-2)・\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$ 　　ここで,$b_1-2=\displaystyle \frac{1}{a_1}-2$ 　　　　　　　　$=3-2　(∵a_1=\displaystyle \frac{1}{3}より\displaystyle \frac{1}{a_1}=3)$ 　　　　　　　 　=1　であるから, 　　　　　　$b_n-2=1・\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$ 　　　　　　$⇔b_n=\displaystyle \frac{1+2^n}{2^{n-1}}$ 　　　　　$∴　a_n=\displaystyle \frac{2^{n-1}}{1+2^n}$・・・{\sf ((答))}となる。 {\sf ((注))1°}　漸化式,$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$の変形は,以下のように行う。 　　　　　$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}b_n+1$ 　　　　$\underline{-) α =\displaystyle \frac{1}{2}α+1　}　・・・★$ 　　$b_{n+1}-α=\displaystyle \frac{1}{2}(b_n-α)・・・(*)’$ 　　　ここで,★を解くと,$α=2$となり,$(*)'$に代入すると,解答の式となる。 　　{\sf 2°}自然数$n$の命題を証明する方法として,数学的帰納法を用いる。 \begin{screen} 　　　自然数の命題P($n$)において, 　　　(i)　$n=1$のとき,命題P($n$)が成り立つことを確認する。 　　　(ii)　$n=k$のとき,命題P($n$)が成り立つことを仮定し,$n=k+1$のとき 　　　　　成り立つことを確認する。 \end{screen} \end{document}