室蘭工業大学 前期 2010年度 問1

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問1
学部 工学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{color} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{1.}} $c$を定数とし,関数$f(x),g(x)$を \begin{center} $f(x)=-x+c, g(x)=-x^2+2x+3$ \end{center}  と定める。また,直線$y=f(x)$は放物線$y=g(x)$の接線であるとする。 {\sf (1)} $c$の値を求めよ。 {\sf (2)} 直線$y=f(x),放物線y=g(x)$,および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} 接点の$x$座標を$t$とおくと,接線の傾きは$g'(t)=-2t+2$となる。これが接線   $y=-x+c$の傾きと等しいので      $-2t+2=-1 ⇔ -2t=-3$                $∴ t=\displaystyle \frac{3}{2}$   また,$f(t)=g(t)$なので,$\displaystyle f \left(\frac{3}{2} \right)= g \left(\frac{3}{2} \right)$となるから            ⇔ $\displaystyle \frac{3}{2}+c=- \left(\frac{3}{2} \right)^2+2・\frac{3}{2}+3$            ⇔ $∴ c=\displaystyle \frac{21}{4}$・・・{\sf ((答))} {\sf (2)}  直線$y=f(x),放物線y=g(x)$,および$y$軸で囲まれた図形を$S$とおくと, \begin{center} \input{_wtpic06.tex} \end{center}       $S=\displaystyle \int_0^\frac{3}{2}\left\{ \left(-x+\frac{21}{4}\right)-\left(-x^2+2x+3\right) \right\}dx$            $⇔ S=\displaystyle \int_0^{\frac{3}{2}} \left(x^2-3x+\frac{9}{4} \right)dx$           $⇔ S=\displaystyle \int_0^{\frac{3}{2}} \left(x-\frac{3}{2} \right)^2dx$           $⇔ S=\displaystyle \left[ \frac{1}{3} \left(x-\frac{3}{2} \right)^3 \right]_0^{\frac{3}{2}}$           $∴ S=\displaystyle \frac{9}{8}$・・・{\sf ((答))} {\sf ((注))} 1°$\displaystyle \int \left(x-a \right)^3=\frac{1}{3}(x-a)^3+C$($C$は積分定数)を活用すると計算がはやく       できる。 \end{document}